El Filibustero ha scritto:
> Un conduttore filiforme elettricamente carico in equilibrio dovrebbe
> avere una densita' lineare di carica costante, qualunque sia la sua
> forma, se ammettiamo solo valori finiti di densita'.
Non vedo perché.
> Nel caso dell'ago (segmento rettilineo) conduttore, pare che la
> densita' di carica sia costante all'interno ma infinita agli estremi:
> cosi' suggerisce il modello a grani spinto al limite per numero di
> cariche tendente a infinito.
>
> Del resto e' intuitivo che in un anello conduttore ellittico la
> densita' lineare di carica sia massima nei vertici del semiasse
> maggiore, ma finita ovunque.
Appunto.
Del modello a grani non mi fido.
In termini generali, si tratterebbe di dare una soluzione dell'eq. di
Laplace.
Il problema sono le condizioni al contorno.
Per un conduttore di estensione finita in 3D, le condizioni sono quelle
di Dirichlet: pot. costante sulla superficie e nullo all'infinito.
Poi la soluzione sarà più o meno facile a seconda della geometria del
conduttore.
Ma per un conduttore filiforme il pot. diverge logaritmicamente...
Si potrebbe enunciare una condizione di equipotenzialità, per es.
imponendo che il limite del rapporto dei pot.in due punti qualsiasi
sia 1 se ci si avvicina nello stesso modo al conduttore.
Ma non so come si potrebbe utilizzare una simile condizione.
Per un elissoide di rotazione allungato, ero partito dal ricordo che
l'eq. di Laplace è separabile in coord. ellissoidiche.
Il che permette di esprimere la soluzione (in questo caso) in funzioni
elemntari.
Poi una nota di Griffiths, che citava Abraham e Becker, mi ha
rimandato al Becker, di cui possiedo la trad. italiana (ormai
introvabile).
Et voilà: il problema si risolve in modo del tutto elementare, senza
eq. di Laplace ecc.
Basta invertirlo, ossia calcolare il pot. per un segmento rettilineo
unif. carico. Questo è un integrale elementare, e porta a scoprire che
le suo. equipot. sono elissoidi rotondi allungati, coi fuochi agli
estremi del segmento.
(Lascio i dettagli al lettore :-) )
Ne segue che il pot. di un conduttore a forma di ellissoide rotondo
allungato ha la stessa espressione di quello del segmento di cui sopra.
In questo senso è vero che il segmento è limite della famiglia di
ellissoidi confocali, e che la distrib. di equil. per la carica è
uniforme.
Quanto al pot. di un cilindro, è tutt'altra musica :-)
Si tratta di un genuino problema di Dirichlet, ma ho solo un'idea di
come tentare la soluzione.
Sia 2a la lunghezza del segmento.
Proverei a esprimere il pot. come una serie
V(r,\theta) = \sum_{l=0}^\infty c_l (r/b)^{2l} P_{2l}(\cos\theta)
con b>a.
(La simmetria del problema elimina la dip. da \phi e limita ai termini
di ordine pari nello sviluppo.)
Questa soluzione è valida per r<b.
I coeff. c_l andrebbero determinati imponendo V=V_0 costante sulla
superficie del cilindro.
Non ho provato e non so se potrebbero sorgere difficoltà...
Ammesso che si riesca a determinare la soluzione (come serie) per il
cilindro di diametro finito, se ne otterrebbe anche la distrib. di
carica sulla superficie.
Poi si potrebbe tentare il limite a diametro nullo.
Il sogno sarebbe che fornisca lo stesso risultato dell'ellissoide.
--
Elio Fabri
Received on Wed Mar 01 2017 - 17:41:30 CET