Quanto sono strani i fotoni!

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1998/06/22

Elio Fabri wrote:
>
> Michele Andreoli ha scritto:
> > Un dubbio che ho sempre avuto: per una particella in una
> > scatola non c'e' invarianza per traslazione. Se non posso
> > definire l'operatore di traslazione, devo concludere che non
> > posso definire l'osservabile impulso? Oppure posso dire che,
> > poiche' posso definire le traslazioni infinitesime (non so
> > fino a che punto), posso allora definire anche l'impulso?
> Premetto che l'invarianza non c'entra: anche un osc. armonico non e'
> invariante per traslazioni, ma l'impulso ce l'ha.
> Il problema che poni e' ben noto e implica una certa quantita' di
> sottigliezze matematiche: il punto e' che l'operatore derivata, che
> dovrebbe rappresentare l'impulso, non e' autoaggiunto.
> Pero' possiede infinite estensioni autoaggiunte...
> E qui mi fermo, perche' confesso che non ho ancora capito bene come la
> cosa procede :(
> Chissa' se qualcuno (il solito Valter?) puo' dare altri lumi?
> -------------------
> Elio Fabri
> Dip. di Fisica
> Universita' di Pisa


  Ciao, non ci ho mai pensato tanto, ma ecco quello che mi viene
  in mente in un'analisi rapida.

  Premesse e commenti.

  1) Quasi tutti gli operatori della meccanica quantistica
  che rappresentano osservabili NON sono autoaggiunti, ma sono
  simmetrici (= hermitiani e definiti su una varieta' lineare densa) e
  *essenzialmente autoaggiunti*. Cio' significa che ammettono aggiunto
  e l'aggiunto e' autoaggiunto. Inoltre significa anche che ammettono
  un'UNICA estensione autoaggiunta (l'operatore aggiunto stesso).
  Questa proprieta' dipende strettamente dal dominio dell'operatore
  simmetrico iniziale.

  2) Cosi', nello spazio euclideo R^3, gli operatori di derivazione
  nelle tre coordinate moltiplicati per -i (h tagliato) definiti sullo
  spazio delle funzioni (Cinfinito)
  a decrescenza rapida (oppure su quelle C infinito a supporto
  compatto [si ottiene in questo caso alla fine lo stesso operatore
  autoaggiunto]) definiscono operatori simmetrici essenzialmente
  autoaggiunti. Gli operatori impulso non sono quindi tali derivate,
  ma le loro estensioni autoaggiunte date dai loro operatori aggiunti.
  Il dominio degli aggiunti sara' in generale piu' grande e lavorera'
  su funzioni nemmeno derivabili.

  3) Il fatto che si lavora con le estensioni aggiunte e non con gli
  operatori di partenza e' cio' che richiede quelle strane condizioni
  sugli autovettori (propri) dell'hamiltoniano dell'atomo di idrogeno
  (lemmi di Kato):
  in realta' non stiamo cercando gli autovettori di
  Laplaciano + potenziale, ma del suo aggiunto...
  

  4) Nella MQ si assume che esista una varieta' lineare densa
  invariante rispetto a tutti gli operatori considerati (e che
  quindi) stia nei loro domini. Su tale varieta' valgono le relazioni
  di commutazione. Nel caso della particella libera, tale varieta'
  e' per esempio lo spazio delle funzioni a decrescenza rapida.

  Veniamo al problema in questione. Consideriamo la particella
  nella scatola. Solitamente si assumono condizioni al contorno
  sulle funzioni d'onda ai bordi della scatola di annullamento o
  periodicita'. In realta' quando pero' si completa lo spazio per
  avere un L^2 lo spazio ottenuto e' lo stesso in entrambi i casi.
  Le condizioni di periodicita' invece sono correttamente usate nel
  definire i domini iniziali degli operatori.
 
  Nel definire l'operatore impulso la strada e' la solita: si parte
  dalla derivata con fattori i ecc.. e si cerca un dominio in cui
  tale operatore sia autoaggiunto oppure essenzialmente autoaggiunto.

  Quello che si vede e' che, esistono SEMPRE estensioni autoaggiunte
  di tale operatore purche' il dominio sia scelto decentemente
  (per esempio le funzioni Cinfinito
  che si annullano sul bordo), e questo e' dovuto al fatto che gli
  operatori considerati sono simmetrici e commutano con un operatore
  antiunitario di coniugazione (per es coniugazione complessa +
  cambiamento di segno dell'argomento per scatola cubica con centro
  nell' origine). Tuttavia eccetto sostanzialmente un caso, tali
  operatori ammettono piu' di un estensione autoaggiunta (e questo
  segue studiando gli autovalori +- i per l'operatore aggiunto, ed
  e' dovuto alla limitatezza della scatola).
  C'e' un caso (non sono sicuro che sia proprio l'unico caso, ma sono
  sicuro che imponendo annullamento al bordo della scatola
  si hanno piu' di un estensione autoaggiunta) che produce una
  unica estensione autoaggiunta. Questo si ha proprio perche'
  l'operatore di partenza e' essenzialmente autoaggiunto.
  La situazione e' quella in cui si
  definisce il dominio iniziale come le funzioni *periodiche* C
  infinito (si puo' abbassare l'ordine di differenziabilita').
  La dimostrazione si basa su un teorema di Nelson piuttosto semplice.

  Dal punto di vista fisico gli autostati di tale operatore impulso
  descrivono particelle che girano su di un toro piuttosto che
  in una scatola.

  Se non ricordo male, ma sono quasi sicuro, la fregatura e' che ora,
  definendo l'operatore posizione nel modo piu' ovvio, accade la
  disgrazia che non esiste piu' alcun dominio comune ed invariante
  per entrambi gli operatori per cui non ha piu' senso scrivere
  le relazioni di commutazione di tali operatori.

  Alternativamente uno potrebbe definire l'operatore impulso
  scegliendo una delle tante estensioni autoaggiunte della derivata
  definita su funzioni smooth che si annullano sul bordo della
  scatola. In tal caso si possono verificare le relazioni di
  commutazione, ma lavorare rigorosamente e' una cosa infernale
  perche' l'uso della derivata e' altamente ambiguo per indicare
  l'impulso.

  Dal punto di vista unitario, definendo le traslazioni nella scatola
  in modo "torico"( cioe' una funzione che sparisce oltre il bordo
  destro in seguito ad una traslazione troppo lunga ricompare nella
  scatola dal bordo sinistro) si trova subito che il generatore
  autoaggiunto di tali traslazioni altro non e' che l'impulso
  "buono" definito sulle funzioni periodiche di sopra.
  Da cio', per il teorema di Stone, mi pare che la scelta di un
  altro operatore impulso NON puo' dar luogo alle traslazioni
  usuali *all'interno* della scatola (dovrei pensarci un po'
  con calma perche' non e' completamente ovvio).


  Ciao, Valter
Received on Mon Jun 22 1998 - 00:00:00 CEST