On Sat, 08 May 2010 14:49:31 +0200, Pippo wrote:
> Dato un operatore hermitiano in uno spazio di Hilbert i suoi autovalori
> sono reali e gli autovettori associati ad autovalori distinti sono
> ortogonali. Ma gli autovettori formano sempre una base per tutto lo
> spazio di Hilbert? In spazi di dimensione finita se non c'è
> degenerazione è ovvio. Se c'è degenerazione l'autospazio relativo ad un
> autovalore di molteplicità algebrica m è sempre m dimensionale?
Per operatori hermitiani, sì. (Teorema spettrale, che si può esprimere
anche come "ogni matrice autoaggiunta è diagonalizzabile".)
> E per
> spazi infinito dimensionali?
Lì è un po' più complicato. Ci sono "autovettori" che in realtà non
appartengono allo spazio di Hilbert. (Ad es. sullo spazio delle funzioni
complesse di variabile reale a modulo quadro integrabile, l'operatore p
definito da p\psi (x) = i d\psi(x)/dx ha come "autovettori" le funzioni
tipo e^{ikx}... tranne che non sono di modulo quadro integrabile!) Se
espandi lo spazio in modo da includere anche questi, puoi trovare una
"base" di autovettori anche per questi operatori, ma usando integrali al
posto di sommatorie e cose del genere. (A un matematico questa
spiegazione farebbe accapponare la pelle...)
--
Vuolsi così colà dove si puote
ciò che si vuole, e più non dimandare.
[ T H I S S P A C E I S F O R R E N T ]
Received on Mon May 10 2010 - 14:52:57 CEST