Domandone sulle osservabili in MQ

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1998/06/11

Enrico Borghi wrote:
>
> Mauro RICCARDI ha scritto nel messaggio ...
> >
> ****************************************************************************
> **************
> Secondo me diventano operatori le variabili dinamiche della meccanica
> (analitica)classica. Le variabili dinamiche della m.c. sono, come � noto,
> funzioni di q e p; in particolare sono gli stessi q e p.
> Non diventano operatori grandezze che non possono essere espresse come
> funzioni di q e p, come, ad esempio, la massa o la carica elettrica.
> E le variabili puramente quantistiche (ad esempio lo spin)?
> Questa non diventa operatore: nasce gi� come operatore!
> Saluti

  Sono sostanzialmente d'accordo con te, ma
  scusa la pignoleria, la massa e la carica SONO classicamente
  funzioni di p e q: sono funzioni costanti. E sono operatori
  "costanti" in MQ.

  (Inoltre la carica e' un "vero" operatore (non costante)
  in teoria dei campi pero')


  Vorrei dire due parole in piu' sulla struttura matematica
  della MQ (NON teoria dei campi dove una nozione piu' generale
  di stato e' necessaria).

  Classicamente uno puo' definire le osservabili elementari
  come qualche sottoclasse della classe dei sottoinsiemi dello spazio
  delle fasi. Queste sono osservabili elementari nel senso che
  ammettono solo due valori 0 = "falso" se lo stato del sistema
  (che e' un punto nello spazio delle fasi) NON
  appartiene all'insieme considerato, 1 = "vero" se lo stato
  del sistema appartiene all'insieme.
  
  Se la classe detta e' una sigma algebra (tipicamente la sigmaalgebra
  di Borel) allora ci si puo' fare sopra la teoria della misura ed
  e' possibile pensare gli stati come misure di Dirac
  ed estendere la nozione di stato a misure di probabilita',
  per esempio facendo la meccanica statistica.

  Uno stato e' l'assegnazione della probabilita' che il punto del
  sistema cada in un generico sottoinsieme misurabile, cioe'
  la probabailita' che una generica osservabile elementare e' vera.

  L'aspetto interressante e' che la sigma algebra ha una struttura
  leggermente piu' complicata a quella della logica formale del
  prim'ordine e gli insiemi (= osservabili elementari) si comportano
  come proposizioni con i rispettivi connettivi logici sostituendo
  al connettivo & l'intersezione, a l connettivo "o" (vel) l'unione
  e cosi' via. Posso combinare osservabili elementari con i connettivi
  per costruirne altre. Cio' corrisponde a lavorare con unione ed
  intersezione sui rispettivi insiemi.

  E' possibile quindi mostrare che le funzioni (misurabili) sullo
  spazio delle fasi, cioe' le osservabili generali (forse troppo
  generali), le posso costruire con le funzioni caratteristiche
  degli insiemi delle osservabili elementari.


  Che succede volendo fare la MQ?
  E' chiaro che la struttura di sopra non puo' funzionare piu'
  per il seguente motivo. Ammettiamo di aver definito le osservabili
  elementari in qualche modo. Sappiamo dalla fisica che ci sono
  osservabili elementari (tipo "la posizione cade in questo insieme
  di valori" e "l'impulso cade in questo insieme di valori").
  E' allora ovvio che queste osservabili elementari NON posso
  unirle con connettivi logici per farne una terza, che non sarebbe
  fisicamente possibile.

  Bisogna trovare una struttura matematica che supporti tale
  stranezza e che si riconduca alla buona vecchia sigma algebra
  classica ogni qual volta lavoro con un insieme massimale di
  osservabili elementari compatibili. Bisognerebbe ora
  precisare un mucchio di cose che non posso esplicitare...

  Tale struttura esiste ed e' (un sottoinsieme de) l'insieme dei
  proiettori ortogonali in uno spazio di Hilbert.
  Il requisito di compatibilita' e' definito dal fatto che i
  proiettori commutino. Si puo' provare che ogni insieme massimale
  di proiettori che commutano tra di loro costituisce una sigma
  algebra (usando la topologia forte per interpretare le serie
  di proiettori).

  Uno stato e' l'assegnazione di una funzione a valori in [0, 1]
  sull'insieme dei proiettori, tale che si riduca ad una misura
  ordinaria su ogni sottoinsieme massimale di proiettori commutanti.

  Esiste un teorema dovuto a Gleason che mostra che tali funzioni
  (se lo spazio e' separabile e d altre cose) sono tutti e soli
  gli operatori T di classe traccia, positivi con traccia uguale
  a uno. In poche parole gli "stati misti". la probabilita' che
  il proiettore P sia vero e' allora data da

  tr TP

  Gli stati puri sono i punti estremali dell'insieme dei T
  e coincidono a meno di fasi e normalizzazione con i vettori
  dello spazio di Hilbert.

  Le osservabili generiche sono ottenute tramite le osservabili
  elementari usando il teorema spettrale. In pratica per es.
  l'impulso e' decomposto nella classe di osservabili elementari
  "il valore dell' impulso cade in tale insieme". Queste osservabili
  viste come proiettori, costituiscono una "misura spettrale" alla
  quale e' automaticamente associato un unico operatore autoaggiunto
  (l'operatore impulso nel nostro caso).


   A questo punto bisogna dire come e' fatto esplicitamente
   uno spazio di Hilbert per un sistema fisico e come sono fatte
  le osservabili (elementari e non) in termini di operatori e
  proiettori. E' a questo livello che scattano i principi di
  corrospondenza tipo quello di Dirac sulle parentesi di Poisson
  e commutatori. Tuttavia rimangono ambiguita' (dovute al'ambiguita'
  del processo di simmetrizzazione di alcuni operatori...).

  Si potrebbe poi fare vedere che gli stati puri costituiscono
   uno spazio proiettivo metrico, ma mi fermo qui.

  Voglio solo dire, che benche' le definizioni di stato che abbiamo
  dato sembrano davvero generali, non sono sufficienti in teoria dei
  campi, dove l'evidenza dice che ci sono stati che non possono
  essere rappresentati da vettori (o operatori statistici) in un unico
  spazio di Hilbert. I formalismo algebrico ed i teoremi GNS
  sono una via di uscita da questo genere di problemi...

  
   Ciao a tutti, Valter
  




-----------------------------

 Valter Moretti,
 Department of Mathematics
 and INFN, Trento University
Received on Thu Jun 11 1998 - 00:00:00 CEST