Paradosso con il teorema di Gauss

From: Marco Coletti <marco.coletti_at_TIRAVIAeurofin.it>
Date: 1998/06/03

On 29 May 1998 15:08:16 +0200, "Raskolnikof" <a.mariantoni_at_mclink.it>
wrote:

>Il teorema di Gauss richiede anche qualche altra condizione aggiuntiva, di
>tipo matematico. Ti chiede cio� che il campo vettoriale che vai a
>considerare sia definito e derivabile nella porzione di spazio che vai a
>considerare. Se il campo non � definito � ovvio che il teorema e le
>relazioni da te sopra illustrate non valgono. Ed � proprio questo il nostro
>caso.

Un momento... in *matematica* il Th. di Gauss richiede alcune
condizioni che non ricordo esattamente ma sarei propenso a ritenere
che richieda solamente:
- cha la superfice sia chiusa e topologicamente non-so-cosa... la
sfera di sicuro soddisfa queste ipotesi
- che esista div(E) in nella regione interna alla superficie chiusa
- che esista l'integrale di flusso di E sulla superficie considerata

Nella *teoria elettrostatica* invece la legge di Gauss dice che, data
una carica comunque distribuita all'interno e all'esterno di una
superficie chiusa, il flusso del campo elettrico attraverso tale
superficie esiste ed e' proporzionale alla quantita' di carica Q
inclusa nella superficie stessa. Non fa alcuna ipotesi sul campo
elettrico, ma dice solo che esso e' tale che il suo flusso e'
proporzionale a Q.
Puo' darsi (ma non ricordo) che nella formulazione piu' precisa la
legge di Gauss ponga l'ipotesi di una distribuzione di carica
*limitata* nello spazio, e allora tale legge non sarebbe applicabile
al mio esperimento ideale. Del resto nel msg precedente ho
evidenziato come anche la semplice legge di Coulomb e' incompatibile
con una situazione di carica uniforme e illimitata.
Se all'inizio del corso di elettrostatica ponessero quale ipotesi di
lavoro che la carica sia limitata nello spazio (o meno
restrittivamente, con integrale di volume convergente su tutto lo
spazio [equivalente a dire che la carica Q e' finita] o qualche
ipotesi del genere) allora io col mio paradosso avrei violato le
regole, ma a quanto ricordo, non le ho violate :)


>>Prendiamo una distribuzione di carica tale che la densita' di carica
>>sia positiva e uniforme in tutto lo spazio R^3 (cioe' la carica si
>>estende uniformemente all'infinito). Mi rendo conto che tale
>>distribuzione non e' fisicamente possibile, dato che implicherebbe una
>>quantita' di carica infinita, ma mi pare che nulla nella teoria
>>elettrostatica vieti questa ipotesi.
>
>Beh, questa distribuzione non ha nulla di fisico. Gi� parlare di
>distribuzione uniforme di carica estesa a tutto lo spazio...

Si' ma... la legge di Gauss e la teoria elettrostatica sono delle
costruzioni meramente ideali che dovrebbero essere auto-coerenti.

>Poi mi chiedo che modello di universo stai ipotizzando. Possiamo immaginare
>per comodit� che sia un universo piatto e totalmente privo di materia. E

E' l'universo della geometria euclidea :), la fisica vera e propria
non c'entra con le mie speculazioni.

>inoltre che sia trascorso un tempo infinito dalla distribuzione della carica
>in modo tale che ogni punto risenta dell'interazione repulsiva di ogni altro
>punto. Anche con queste ipotesi non so se tale distribuzione di cariche
>sarebbe stabile.

Ma che importa? Gauss ha forse detto che il teorema dipende dal fatto
che la distribuzione di carica sia stabile? Immaginiamo un deus ex
machina che tiene le cariche al loro posto :)

>Come vedi non appena si inizia ad analizzare il problema ci si scontra con
>quantit� fisiche infinite: la carica, lo spazio, il tempo. In sostanza c'�
>puzza di bruciato...

Infatti. Fisicamente il mio paradosso e' mal posto.
Ma cio' non mi vieta di porlo nel contesto della teoria matematica del
campo elettrostatico.

>>La nostra intuizione ci suggerisce subito che il campo elettrico
>>risultante e' nullo ovunque, in quanto, preso un punto a piacere, data
>>la omogeneita' e isotropia della situazione, non vi e' alcun motivo
>>per giustificare un vettore campo elettrico che punti in una direzione
>>piuttosto che in un'altra.
>
>Questo � il punto cruciale. La tua intuizione ti inganna. Il campo elettrico
>non � nullo in tutto lo spazio, bens� non definito in tutto lo spazio. Ed

Questa infatti mi sembra la risposta piu' sensata: il campo elettrico
non e' definito.
Nel senso che le leggi dell'elettrostatica non consentono di desumere
un campo elettrico dalla distribuzione di carica che ho ipotizzato e
quindi tale distribuzione non rientra in quella teoria...

Pero', ripeto, non mi pare che i libri mettano in evidenza le
limitazioni a cui deve sottostare la distribuzione di carica per poter
procedere nello sviluppo della teoria.


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Marco Coletti
Network Administrator, Webmaster, Computer Consultant

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Received on Wed Jun 03 1998 - 00:00:00 CEST

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