Clessidra

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: 1998/05/28

Come promesso, ecco la mia spiegazione.
Premetto che interpreto la domanda "quanto pesa la clessidra?" nel senso
"se la metto su una bilancia, quanto segna la bilancia?"
Una bilancia non puo' che misurare la forza applicata sul suo piatto,
quale che ne sia l'origine: puo' essere quella dovuta al peso di un
corpo, ma anche la spinta della mia mano. Posso anche muovere l'ago di
una bilancia soffiando...
Per il terzo principio, la forza che la clessidra applica al piatto e'
uguale in modulo e opposta in verso a quella che il piatto applica alla
clessidra.
Vedremo che questo e' importante, perche' mi occupero' della seconda
forza.

Considero ora il sistema "clessidra", tutto compreso: supporto, vetro,
sabbia.
Applico a quessto sistema il teorema del centro di massa, che dice (non
tutti possono conoscerlo): il prodotto della massa totale di un sistema
per l'accelerazione del centro di massa uguaglia la risultante delle
forze esterne.
Nel nostro caso le forze esterne sono due:
- l'attrazione terrestre su tutte le parti del sistema (volgarmente
detta peso :-) ) che e' costante, qualunque cosa faccia la sabbia,
diretta vero il basso
- la spinta verso l'alto prodotta dal piatto della bilancia.

Come si vede, la soluzione dipende dal vedere che cosa fa il centro di
massa.
Qui occorre distinguere 5 fasi:
1) La sabbia non ha ancora cominciato a cadere (immaginiamo che ci sia
un rubinetto). Allora il c.d.m. e' fermo, ergo la ris. delle f. esterne
e' nulla, ergo la spinta del piatto uguaglia il peso. E questo era
piuttosto ovvio...
2) La sabbia comincia a cadere, ma non e' ancora arrivata a toccare il
fondo.
Dato che la sabbia che si trova "in volo" aumenta nel tempo e si abbassa
con moto accelerato, e' chiaro che il c.d.m. comincia a scendere,
amch'esso con moto accelerato. Pertanto la ris. delle f. esterne e'
verso il basso, ossia la spinta del piatto e' minore del peso: la
clessidra pesa meno.
3) La sabbia sta cadendo "a regime". Voglio dire che la sabbia che si
trova "in volo", e la sua velocita', non cambia nel tempo, anche se
nuova sabbia rimpiazza quella gia' caduta. Di fatto si ha solo un
trasferimento di sabbia dalla parte alta della clessidra a quella bassa,
e la massa trasferita per unita' di tempo resta costante.
Pertanto il moto del c.d.m. e' verso il basso, ma a velocita' costante:
la ris. delle f. esterne e' zero, e la clessidra pesa come nella fase
1).
4) La parte superiore della clessidra si e' svuotata, ma c'e' ancora un
po' di sabbia "in volo". Poiche' la massa in volo va diminuendo, anche
la vel. del c.d.m diminuisce, fino ad annullarsi quando tutta la sabbia
e' caduta. Dunque la vel. verso il basso del c.d.m. diminuisce, ossia la
sua accel. e' verso l'alto. Pertanto in questa fase la spinta del piatto
supera il peso, e la
clessidra pesa di piu'.
5) La sabbia e' finita, e ovviamente il peso torna quello normale.

Debbo dire che nell'analisi della fase 3) ho fatto un'approssimazione,
senza la quale avrei che il c.d.m. ha una piccola accel. verso la'lto,
per cui la clessidra pesa di piu'.
Lascio a voi di scoprire perche' ;-)
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Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa
Received on Thu May 28 1998 - 00:00:00 CEST