n^3 = m^2 + 2 Unica coppia 3,5,

From: marcofuics <marcofuics_at_netscape.net>
Date: Tue, 20 Apr 2010 03:31:45 -0700 (PDT)

Sia l'equazione diofantina

ED1) n�=m�+2
con n ed m numeri interi positivi.
Ci chiediamo se esiste una altra coppia risolutiva della ED1 oltre a
n,m = 3,5 -> 3� = 5� + 2


Sia QU(j) l'area del quadrato di lato j , e CU(k) il volume del cubo
di lato k; ovverosia QU(j) il numero di mattoncini unitarii che
compongono il quadrato di lato j, con j intero, e CU(k) il numero di
mattoncini unitarii che compongono il cubo di lato k, con k intero.
QU(j) = j�;
CU(k) = k�;
Se incremento dell'unita' il lato otterro' un incremento DQU(j) sul
numero di mattoncini del quadrato e DCU(k) sul numero di mattoncini
del cubo:
DQU(j) = QU(j) - QU(j-1) = 2j+1;
DCU(k) = CU(k) � CU(k-1) = 3k� + 3k + 1;

Supponiamo che per n=k e m=j (interi) valga la ED1, k� = j� + 2,
valendo anche per 3,5, cio' implica che a partire da 3 ed
incrementando per k-3 volte il lato del cubo avro' usato esattamente
lo stesso numero di mattoncini che servono ad incrementare di m-5
volte il lato del quadrato.

Ripongo come valori n,m.

A1) SUM[t=3,n] {3t�+3t+1} = SUM[s=5,m] {2t+1} ;

Valgono le segunti identita' =>
1�+2�+3�+....+n� = n(n+1)(2n+1)/6;
1+2+3+....+n = n(n+1)/2;

Sviluppando la A1 si ottiene:
3{n(n+1)(2n+1)/6 � 14} +3{n(n+1)/2-6} + n � 3 = 2{m(m+1)/2 -15} + m �
5;
che dopo alcuni calcoli conduce a:

A2) n�+n=2/3m+26/3;

avendo avuto cura di risostituire nella espansione della A1 il valore
n� con m� + 2, come da ED1!

Dobbiamo quindi ricercare le soluzioni della A2, dove come al solito
si intendono n ed m interi.
Utilizzando il medesimo procedimento su esposto, degli incrementi,
avremo che la A1 ci porta a:
essendo
        Incremento di (n�+n) = 2n+2; Incremento di (2/3m+26/3) = 2/3;

A3) SUM[t=3,n] {2t+2} = SUM[s=5,m] {2/3} ;

2{n(n+1)/2 � 6} + 2n � 6 = 2/3m � 10/3 -->> con la dovuta
risostituzione ricavabile dalla A2-->> 2n = 18 � 10/3 � 26/3
2n = 6; n=3! Unica soluzione, CVD.
Received on Tue Apr 20 2010 - 12:31:45 CEST