Re: potenziale singolare in QM e stato fondamentale

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Mon, 22 Feb 2010 16:47:22 -0800 (PST)

On 18 Feb, 23:27, argo <brandobellazz..._at_supereva.it> wrote:

> L'idea mi viene da esempi di potenziali attrattivi (anche divergenti
> nell'origine) che mi e' capitato di incontrare che pero' non hanno
> stati legati.
> Ad esempio se prendi la classe di potenziali fatti cosi' V=w^2(x)-
> \partial_x w(x) con w(x) arbitraria (a parte forse i vincoli che
> seguono dall'autoaggiunzione che dipendera' anche dalle condizioni al
> bordo) avrai che l'Hamiltoniana e' definita positiva (H=-\partial_x^2 /
> 2+V=A^* A con A=1/\sqrt{2} [i\partial_x+2 i w(x)] e A*=/\sqrt{2}[i
> \partial_{x}-2 i w(x)] ). Quindi prendendo ad esempio w=x^{-1/2}
> ottieni potenziali attrattivi divergenti ma ancora H=A*A. Se quindi
> mostri che H con le opportune condizioni al bordo e' autoaggiunto
> avrai che lo E>0.

Infatti va benissimo, ma non direi che � lo stato fondamentale che ha
E>0 direi che non ci sono stati legati. Ad ogni modo anche nel caso di
potenziale divergente nell'origine � plausibile quello che dici solo
se non ci sono termini di grado pi� alto, per esempio -c_3/r^3. Nel
caso che consideri con c_2/r^2 il comportamento asintotico delle
soluzioni nei pressi dell'origine pu� essere ottenuto trascurando del
tutto i termini di grado pi� basso (intendendo nel polinomio in 1/r) e
si ottengono due casi secondo dell'intensit� del coefficiente c_2, in
un caso l'andamento nell'origine � dato da una funzione d'onda del
tipo r^a con a>0 (N.B. nel caso che il moto � tridimensionale il
valore di a � negativo ma la singolarit� � integrabile, nel caso
unidimensionale non c'� affatto singolarit�). Per valori di c_2 > 1/4
invece � plausibile, anche se non ne conosco dimostrazioni rigorose,
che lo spettro non sia limitato inferiormente infatti per qualunque
valore finito di E l'andamento asintotico della soluzione nei pressi
dello zero ammette infiniti nodi e quindi se si assume che lo stato
fondamentale non abbia nodi (come nel caso che valga il teorema di
Sturm Liouville, che per� in questo caso � in difetto), non c'� valore
di E<0 che possa rendere la funzione d'onda senza nodi. In questo
secondo caso lo spettro rimane non inferiormente limitato qualunque
sia il contributo che viene dagli altri termini di grado pi� basso.

 Detto ci� la domanda che fai rimane di difficile risposta. Infatti
nel caso che l'andamento asintotico nei pressi dell'origine ammetta un
andamento regolare del tipo r^a cio� per c_2 < 1/4 anzich� l'andamento
singolare suddetto, mi sembra ragionevole che non ci siano stati
legati se l'equazione di Schroedinger si riduce al potenziale
puramente 1/r^2 ma fino a prova contraria potrebbero invece esserci
stati legati se ci sono altri termini.

La mia idea intuitiva � che occorra andare a studiare gli eventuali
stati legati del caso 1/r e vedere se queste si possono in modo
ragionevole raccordare con un andamento asintotico come quello
richiesto dalla singolarit�. Il punto sul quale mi areno al momento �
che questa equazione si studia all'incirca come il caso
tridimensionale solo per l'andamento asintotico all'infinito, perch�
in questo caso manca la funzione stabilizzante del potenziale
centrifugo e l'equazione u''+ k u/r = 0 per l'andamento asintotico ad
r piccoli mi richiede qualche sforzo che non � compatibile con
l'orario. Tutto quel che vedo al momento � solo il fatto ovvio in
questi casi che non si risolve in serie di Laurent e non ha soluzione
di tipo r^a. Per� magari � un'equazione ben nota.

> > O forse non e' neppure autoaggiunto? (ma qui ci vuole Valter ;-) ).
>
> Non mi interessava il caso specifico 1/r^2, cmq credo che V=-c_2 /r^2
> definisca un'hamiltoniana autoaggiunta per c2 positivi non troppo
> grandi (affermazione che dipendera' dalla dimensione in cui ci
> troviamo) oppure per c_2 negativi.

Sono d'accordo che l'hamiltoniana sia autoaggiunta se lo spettro �
inferiormente limitato, quindi per c_2 > 1/4.

> Per opportune condizioni al bordo e
> per c2 non troppo negativi il sistema credo che mostri anche una
> simmetria di scala.
> ciao
Received on Tue Feb 23 2010 - 01:47:22 CET