Re: L(q, q', t), H(q, p, t)

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_units.it>
Date: Wed, 9 Aug 2023 13:56:04 +0200

Il 09/08/23 13:21, Alberto Rasà ha scritto:
....
> Ma in una generica trasformazione di Legendre (ometto la dipendenza da q in quanto non rilevante):
> g(p) = pq' - f(q')
> si deve utilizzare un modo per far scomparire la dipendenza da q' e che sia coerente con... altre cose.
> Un modo è:
> g(p) := sup[q'] [pq' - f(q')] se f è convessa
> g(p) := inf[q'] [pq' - f(q')] se f è concava.

In realtà puoi rilassare la richiesta a "convessa a meno di intervalli
limitati in cui può non esserlo" e stessa cosa per la concavità,
scambiando concavo con convesso. Questo, oltre al fatto che non è
richiesta innessun modo la *stretta* convessità/concavità., mostra che è
una definizione più potente di quella classica di Legendre, pur
contenedola come caso particolare.
>
> Nel nostro caso dell'hamiltoniana, f(q') = L(q') è convessa (non mi è del tutto chiaro perché non possa essere concava al di la del fatto che si richiede una energia cinetica T definita positiva, almeno in meccanica classica), dunque:
> g(p) := sup[q'] [pq' - f(q')]
> A questo punto, assumendo anche (almeno) la derivabilità di f, per trovare quel sup si cerca il valore di q' per cui
> d[pq' - f(q')]/dq' = 0, cioè p = df(q') / dq'
> che è appunto la definizione di p data sopra come _at_L/_at_q', che ora invece è ricavata :-)

Però il punto importante è che il sup (e quindi la trasformata) lo
ottieni anche se hai una funzione con derivata sinistra e destra diverse
in un punto. Situazione in cui Legendre naufraga alla grande.

Giorgio
Received on Wed Aug 09 2023 - 13:56:04 CEST