Il 22/08/2024 15:48, Michele Andreoli ha scritto:
> Comunque, puoi vedere il mio calcolo qui
>
> Â Â Â Â https://micheleandreoli.org/link/landau.pdf
io riesco a interpretare ciò che dici con grande difficoltà .
Un primo problema, minore, è dato dalle notazioni. Nel mio scritto mi
sono attenuto alle notazioni usate da Elio in
https://fabri.sagredo.eu//lezioni/astronomia/p3c1rf.pdf
Per facilitare i confronti sarebbe meglio mantenere tutti le stesse
notazioni per quanto, qualora il problema fosse *solo* nelle diverse
notazioni, uno potrebbe farsi una tabellina e risolvere la cosa in
maniera relativamente rapida.
Il problema principale è che tu (come fanno spesso i teorici) *cambi le
unità di misura*.
Capisco che i teorici trovino agevole dire cose tipo "pongo c=1, G=1,
m=1 ..." però ti faccio presente che, almeno uno dei tuoi lettori (cioè
io), non si muove affatto facilmente in trattazioni di fisica nelle
quali le grandezze fisiche vengono buttate via con rapidità tanto "un
qualche significato ci sarà nel dire, ad esempio, "pongo c=1", cercatelo
tu quel significato se proprio sei interessato all'interpretazione
fisica della trattazione che sto esponendo".
Ad esempio, per me, le parole "pongo c=1" significano: "Decido di
misurare gli intervalli di tempo in metri e chiamo intervallo di tempo
unitario, dt=1m, l'intervallo di tempo che impiega un fascio di luce a
percorrere in andata e ritorno un orologio a luce lungo mezzo metro".
Cioè dt=1m sarebbe quello che i comuni mortali chiamano dt=1s/3*10^8.
Conseguentemente, la velocità della luce sarÃ
c=dL/dt=2*(0.5m)/1m=1.
Personalmente trovo decisamente *non* agevole dare lo stesso nome (nel
caso specifico 1 m) a operazioni totalmente diverse (una misura di
distanza è *concettualmente* diversa da una misura di intervallo di tempo).
Ad ogni modo, per rendere chiare le mie difficoltà , metto sotto i vari
salti mortali che ho dovuto fare per arrivare al semplice controllo del
fatto che il tuo risultato, per energia potenziale di tipo
U(r)=-gamma/r-h/r^3 coincide, al primo ordine in h, col risultato noto.
Quando dici
dfi = (L/r^2) dt
stai scrivendo la relazione che, nelle unità usuali, si scrive
dfi = [L/(nu*r^2)] dt
dove nu=massa ridotta.
In
dt = [1/p(r)] dr
la tua p(r) dovrebbe essere dr/dt, cioè una velocità , però tu la chiami
"impulso radiale" e, nella definizione (5.36), qualora E_0 fosse
un'energia, la tua p(r) non potrebbe essere un "impulso", o una quantitÃ
di moto (mancherebbe una SQRT[nu]). Per inciso, nelle trattazioni che
immagino siano usuali, la "p" è "occupata". Landau la definisce nella
(15.4) di
https://cimec.org.ar/foswiki/pub/Main/Cimec/MecanicaRacional/84178116-Vol-1-Landau-Lifshitz-Mechanics-3Rd-Edition-197P.pdf
Elio nella sua (M1.7) e io, che, come detto, copio le notazioni di Elio,
https://1drv.ms/b/c/aab6294f8d60223a/ERq6upb9dIBGoDtFiPrg3s8BkOffF9qf3Va3xAGtphw0IQ?e=yNs7jf
la definisco a pag 7 fra la (2.13) e la (2.14); 2p si chiama "latus
rectum" dell'orbita imperturbata (è anche il raggio dell'orbita nel caso
che sia circolare).
Ad ogni modo, tornando al problema principale, le cose parrebbe possano
sistemarsi immaginando che tu abbia posto nu=1 (non nu=1kg ma proprio
nu=1 e io già mi muovo male in un sistema di unità di misura dove le
masse non hanno una loro dimensione, però i teorici hanno questo "vizio"
di inventare nuove unità :-( ), però poi scrivi l'energia potenziale
(efficace) come
V(r) = -m/r + L^2/(2 r^2).
Io scrivo l'energia potenziale efficace (2.12) nella forma
U_eff(r) = -gamma/r + J^2/(2 nu r^2).
Immaginerei che debba essere
U_eff(r) = V(r)/nu
quindi la tua costante m (che non mi parrebbe una massa) dovrebbe essere
tale che
m/nu = gamma.
Passiamo al tuo paragrafo 5.2.4.2: Il termine del primo ordine.
Tu poni il termine correttivo di terzo grado come
deltaV = gamma/r^3
poi dici, "con gamma=-m*L^2" e questo non lo capisco. La costante che tu
chiami gamma è libera, e il suo rapporto con la costante che chiami m
non può essere -L^2, cioè non può essere fissata dalle condizioni iniziali.
Più avanti, all'inizio del paragrafo 5.2.4.4:Risultato finale, dici "Nel
caso del potenziale relativistico gamma=âˆ'm*L^2", il che mi fa pensare
che, in accordo con le previsioni della RG, il parametro che chiami
gamma dovrebbe valere -m*L^2. Però, tutto il calcolo prescinde dal fatto
che la RG preveda o meno un valore per il tuo gamma, quindi preferirei
lasciare libero il gamma.
Ad ogni modo, il termine di terzo grado io lo pongo, nel paragrafo
2.2:Caso U(r)=gamma/r-h/r^3, come
deltaU = -h/r^3.
Penserei di poter concludere che il tuo gamma (che chiamerò gamma_M per
distinguerlo dal mio gamma) e il mio h dovrebbero essere legati da
gamma_M/nu = -h.
Passando alla tua relazione (5.50), quella che dà la precessione al
primo ordine perturbativo, tu ottieni
Deltafi = -6 Pi gamma_M m /L^4
Tradotto nelle mie notazioni dovrebbe essere
Deltafi = -6 Pi (- h nu) (gamma nu) /J^4=
Deltafi = 6 Pi h nu^2 gamma /J^4
cioè il risultato noto.
Il tuo paragrafo 5.2.4.4:Il termine del secondo ordine si chiude con la
relazione
Deltafi(2)=15 Pi gamma_M^2 E_0/L^6 + 105 Pi gamma_M^2 m^2/(2 L^8)
che, tradotto nelle mie notazioni, cioè ponendo
gamma_M=-h nu,
m=gamma nu,
M=J,
E_0=E/nu (la tua E_0 immagino sia la costante del moto energia, poi le
tue "energie" sono, se ho ben capito, E*nu),
si ottiene
Deltafi(2)=15*Pi*(-h*nu)^2*E*nu/J^6+
105*Pi*(-h*nu)^2*(gamma*nu)^2/(2J^8)=
(15/J^6)*Pi*nu^3*E*h^2+
[(105/2)/J^8]*Pi*nu^4*gamma^2*h^2.
I miei 2*I_1 e 2*I_2 dovrebbero essere, rispettivamente, minorazione e
maggiorazione esatta (a tutti gli ordini) della Deltafi, i valori esatti
di I_1 e I_2 sono dati nella (4.5) a pag 20, l'approssimazione in
potenze di h a pag 11.
A me viene (ponendo E_min=E_0/2, quindi (E-E_min)/E_0=E/E_0-1/2)
2I_1=(68/J^6)*Pi*nu^3*E*h^2+
(158/J^8)*Pi*nu^4*gamma^2*h^2
2I_2=(116/J^6)*Pi*nu^3*E*h^2+
(134/J^8)*Pi*nu^4*gamma^2*h^2.
Qualora fosse E=E_min, cioè se l'orbita fosse circolare (cioè
ellitticità dell'orbita molto piccola) si avrebbe
2I_1=2I_2=(192/J^8)*Pi*nu^4*gamma^2*h^2.
Il raggio dell'orbita, per E=E_min, vale
r=[2J^2/(nu*gamma)](1+Sqrt[1-6(h/h_0)])~2*J^2/(nu*gamma).
L'orbita circolare la affronti a fine pagina 37 dove immagino che con
(m/r) tu intenda, nei miei termini, h nu^2 gamma /J^4, quindi, il
termine al secondo ordine in h sarebbe, nel tuo calcolo
2*Pi*(27/2)*h^2 nu^4 gamma^2 /J^8.
Tu (e Walters e Poved-Martin) trovi 27 dove io trovo 192.
Questo sempre che io mi sia districato per bene nell'interpretare i tuoi
simboli e non abbia fatto errori nei calcoli un po' rapidi di oggi.
> ciao,
> Michele
Ciao,
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (Anonimo, attribuito a G.
Apollinaire)
--
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Received on Sun Aug 25 2024 - 19:22:50 CEST