Re: Svuotamento di un serbatoio

From: Giorgio Bibbiani <giorgio_bibbianiTOGLI_at_virgilio.it.invalid>
Date: Sun, 18 Nov 2012 19:19:09 +0100

Enrico B ha scritto:
> Dato un serbatoio di raggio R e altezza H riempito di acqua, con un
> foro alla base di raggio r<<<<R si pu� calcolare, in condizioni
> ideali il tempo di svuotamento (che � ovviamente in funzione del
> battente variabile). Ho provato, a calcolare il tempo di svuotamento di un
> serbatoio
> conico di egual volume e pari altezza e viene diverso, ma non
> dovrebbe essere lo stesso dipendendo da sqr(2gy)?

Data l'ipotesi r << R supponiamo che l'energia cinetica
dell'acqua nel serbatoio sia nel complesso trascurabile,
e trascuriamo gli attriti, allora vale il teorema di conservazione
dell'energia meccanica per cui l'energia cinetica dell'acqua
che esce in un dato intervallo di tempo e' uguale e opposta
alla variazione di energia potenziale gravitazionale dell'acqua
nel serbatoio.

Sia h la quota verticale rispetto al foro alla base, consideriamo
in generale un serbatoio che abbia sezione variabile A(h) e
altezza H, sia a = pigreco * r^2 la sezione del foro alla base,
se il volume di liquido V e' fissato deve essere:
(1) int_{0}^{H} A(h) dh = V,
per la conservazione dell'energia si ha, posto v(t) velocita'
dell'acqua all'uscita al tempo t:
-A(h) dh = a v dt = a sqrt(2 g h) dt,
separando le variabili:
-1 / [a sqrt(2 g)] * A(h) / sqrt(h) dh = dt,
integrando tra il tempo iniziale 0 s e quello finale T:
(2) 1 / [a sqrt(2 g)] * int_{0}^{H}A(h) / sqrt(h) dh = T,
poiche' vale la (1) e' immediato che T risultera' maggiore
nel caso in cui A(h) sara' una funzione monotona decrescente
di h (ad es. cono con il vertice in alto) e minore nel caso in
cui sara' una funzione monotona crescente di h (ad es. cono con
il vertice in basso) rispetto al caso in cui sara' costante (cilindro),
dimostriamolo ad es. nel caso A(h) decrescente, normalizziamo
V = 1 e H = 1, dobbiamo verificare:

(3) int_{0}^{1}(A(h) - 1) / sqrt(h) dh > 0,

posto F(h) = int_{0}^{h} (A(h') - 1) dh'
si ha F(0) = F(1) = 0, dF(h)/dh = A(h), da cui
F(h) >= 0 se 0 =< h =< 1, integrando per parti
il membro sinistro della (3) si ha:

 int_{0}^{1}(A(h) - 1) / sqrt(h) dh =
[F(h) / sqrt(h)]^1_0 + int_{0}^{1} 1/2 F(h) / h^(3/2) dh,
il primo addendo e' nullo poiche' F(1) = 0 e poiche'
F(h) e' un infinitesimo di ordine h se h -> 0+, il
secondo addendo e' ovviamente positivo quindi e'
dimostrata la (3).


Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Sun Nov 18 2012 - 19:19:09 CET