Re: Funzionale azione ed equazioni di Eulero Lagrange

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Wed, 20 Jan 2010 03:53:43 -0800 (PST)

On Jan 20, 9:43�am, Imago Mortis <meccanica.quantost..._at_gmx.com>
wrote:
> � �Ammirati Colleghi
>
> Nelle dispense del prof. Moretti "Fisica matematica I" a pag. 221,
> relativamente alla dimostrazione che la stazionarizzazione del
> funzionale azione equivale alla soluzione delle equazioni di Eulero
> Lagrange, si fa menzione di una procedura piuttosto complessa per
> eseguire la derivazione di una funzione definita mediante un integrale,
> facendo appello al teorema della convergenza dominata. Generalmente, in
> tale frangente si invoca piu' semplicemente il teorema di derivazione
> sotto il segno di integrale.
>

Ma si, non ti preoccupare di questi dettagli, quello basato sul
teorema della conv dominata � semplicemente pi� potente perch�
richiede ipotesi pi� deboli sulle funzioni... Usando lagrangiane
regolari puoi usare il teorema che vuoi, io non mi ricordo pi� le
ipotesi che si usano in analisi elementare per passare la derivata
sotto il segno di integrale ho usato il teorema detto perch� me lo
ricordo meglio usandolo spesso.
Il teorema che uso � cosi', pi� o meno:
ho una funzione F: I x A -> R (misurabile) dove I � un intervallo e A
un insieme sul quale si integra
F= F(t,x)
Se F � derivabile in t in un intorno di t_0, per ogni x in A ed esiste
una funzione assolutamente integrabile
G=G(x) con |F(t,x)| < |G(x)| per ogni x in A e per t che varia in I,
allora esiste la prima derivata che scrivo sotto e vale:

d/dt int_A F(t,x) dx = int_A _at_/_at_t F(t,x) dx per t=t_0

Un caso semplificato, che credo sia quello che tu chiami "teorema del
passaggio della derivata sotto il segno di integrale" si ha quando: A
� compatto (e quindi ha misura finita) e _at_/_at_t F(t,x) esiste ed �
continua
su I x A con I un intevallo chiuso che contiene t_0 al suo interno.
In questo caso puoi usare il teorema che ho detto io (che dimostra
istantaneamente il tuo teorema senza tanti giri) perch� la funzione G
la puoi sempre scegliere come il massimo di _at_/_at_t F(t,x) di IxA che
esiste per
il teorema di Weierstrass.

Ciao, Valter
Received on Wed Jan 20 2010 - 12:53:43 CET