Re: rappresentazioni di un gruppo

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Tue, 24 Nov 2009 21:02:05 +0100

Anton Gnurant ha scritto:
> In nucleare e quantistica si adoperano spesso le rappresentazioni di
> un gruppo..
> HO letto le definizioni ma non ho visto esempi concreti..
> Se il gruppo G e' dato dalle classi di resto modulo 3, ad esempio,
> come trovo le rappresentazioni ?
> Mi pare di aver capito che le rappresentazioni sono matrici (operatori
> lineari) che mi permettono di trasformare un elemento del gruppo in un
> altro..
Mmmm... Mica facile risponderti...
Perche' non si capisce bene che cosa vorresti sapere.
Poni la domanda in un NG di fisica, e sta bene. Pero' poi fai un
esempio che e' puramente matematico.
Dici che hai letto le definizioni, ma l'ultima cosa che scrivi non direi
che rispecchi la definizione che dovresti aver letto.

Altro problema e' che non si sa quanto sai di m.q., quanto di
matematica.
Insomma, ora provo a dire qualcosa, poi vediamo.

1. Definizione al livello di massima astrazione.
G e' un gruppo, V uno spazio vettoriale (su un certo campo K, che ora
non interessa.
Chiamo Aut(V) il gruppo degli automorfismi di V.
Sia ora dato un omomorfismo h: G --> Aut(V). Questa si chiama
"rappresentazione di G su V".

2. Un po' meno astratto.
G, V come sopra.
Un automorfismo di V e' un'applicazione lineare invertibile di V su se
stesso.
Se a ogni elemento g di G fai corrispondere un automorfismo h(g), con
le proprieta'
a) h(gg') = h(g) h(g')
b) h(g^-1) = [h(g)]^-1
allora hai definito una rappresentazione del gruppo G sullo
spazio vettoriale V.

3. Ancora meno astratto.
Sul solito V (supponiamo di dimensione finita) scegli una base {e_i},
si' che ogni elemento v di V e' rappresentato dalla n-pla v^i tale che
v = v^i e_i (somma sottintesa).
(Nota: le componenti v^i sono elementi di K.)
Allora un automorfismo di V manda v in un certo v', e le componenti
v^i in v'^i tali che
v'^i = A^i_k v^k.
L'automorfismo e' quindi caratterizzato dalla matrice A^i_k.
La rappresentazione di G di cui sopra fara' corrispondere a ogni
elemento g di G una matrice A, com proprieta' del tutto analoghe alle
a), b) scritte sopra.

Quanto alla tua domanda
> Se il gruppo G e' dato dalle classi di resto modulo 3, ad esempio,
> come trovo le rappresentazioni ?
cosi' formulata non permette risposta.
Puoi chiedere per es. "come trovo le rappres. reali" il che vuol dire
tutte le rappres. su uno spazio V definito sul campo R.
Ma anche cosi' posta la domanda ammette infinite soluzioni, perche' V
puo' avere dimensione qualsiasi, e non solo per questo.

Di regola e' piu' semplice trovare le rappres. complesse.
Le rappres. piu' semplici hanno dimensione 1, e sono fatte cosi':
gli elementi di G sono tre: [0], [1], [2].
Sia w la radice cubica dell'unita' con parte imm. positiva.
Allora eccoti le sole tre rappres. unidimensionali di G:

1) [0] |--> 1, [1] |--> 1, [2] |--> 1
2) [0] |--> 1, [1] |--> w, [2] |--> w^2
3) [0] |--> 1, [1] |--> w^2, [2] |--> w

Immagino che a questo punto avrai un sacco di domande.
Ne anticipo io qualcuna.
Le altre rappr. come si trovano?
Perche' e' piu' semplice lavorare in C?
E per un gruppo un po' piu' complicato come si fa?

E soprattutto la *grande* domanda: perche' sono importanti le rappr.
dei gruppi in m.q.?

Se davvero vuoi saperne di piu', potresti per es. provare a leggere

http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/gruppi
        

-- 
Elio Fabri
Received on Tue Nov 24 2009 - 21:02:05 CET

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