On 31 Ott, 17:03, Valter Moretti <vmoret..._at_hotmail.com> wrote:
> Ciao, mi pare che parliamo di cose diverse riguardo al libraccio (la
> traduzione italiana) di Landau.
> Comunque il mio punto di vista lo
> trovi espresso nella sezione
> 8.4 delle mie dispense di relativit�http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
>
> �Teoria della Relativita' Speciale: formulazione matematica
> (Con un'introduzione alla formulazione della Relativita'
> generale)
Grazie. Sai che quando escono gli appunti dei tuoi corsi � un poco
come quando esce l'ultimo disco di una star musicale apprezzata?
> No ho ancora avuto tempo di finire di scrivere quella parte. Tra
> l'altro sarebbe il caso di scrivere anche sull'effetto Sagnac, dato
> che � una banalit� una volta capite certe cose.
Ho letto la tua impostazione, se posso permettermi un consiglio per�
la questione dell'integrabilit� la esprimerei in un modo un pochino
pi� comodo. Supponiamo di avere una forma differenziale h, e due
funzioni non nulle f e g in modo che risulti f h = dg ne segue che
0 = d(f h) = df ^ h + f dh. (occorre fare attenzione alla dipendenza
del segno dalle dimensioni, ma comunque il discorso che segue non ne
risente) considerando il prodotto esterno:
0 = h ^ d(f h) = f h ^ dh
otteniamo una condizione necessaria per l'integrabilit�. Del resto f �
non nulla e quindi h ^ dh = 0 questa si chiama anche condizione di
Frobenius che dimostr� anche la sufficienza della condizione, purch�
ci si prenda la briga di completare la dimostrazione di Frobenius con
le opportune ipotesi di derivabilit�. Passando al duale di Hodge
questa condizione la puoi esprimere in altri termini *dh(e1, ... e_
{n-3},h) = 0 dove e_1 ... e_{n-3} sono campi vettoriali arbitrari,
mentre h � il campo vettoriale che vorremmo integrare. In dimensione 3
questo significa semplicemente che h e rot(h) sono ortogonali. A parte
questa escursione matematica che ha utilitit� ai fini della ricerca
del fattore integrante quando esiste, quello che interessa nel nostro
caso � che:
h = dt - \omega r^2 d\phi
ora:
dh = 2 \omega r dr ^ d\phi
e quindi la condizione necessaria per l'integrabilit� � semplicemente:
omega = 0.
Mancando della pazienza di andare a cercare la letteratura di Pfaff e
Frobenius ho cercato di ricostruire la teoria dell'integrabilit� in
particolare volevo guardare in faccia le equazioni differenziali che
permettono di costruire il fattore integrante f e che dovrebbe essere
quello che classicamente � noto come sistema di Pfaff. Ho scritto
degli appunti al riguardo qualche tempo fa. Andrebbero un poco
rivedute e le riscriverei, perch� la macchina del calcolo di Cartan �
talmente potente che arriva alle conclusioni prima che le raggiunga il
ragionamento, ma se vuoi dare un'occhiata alle mie elucubrazioni,
supportate dalla possibilit� di scrivere formule in formato tex, le
trovi qui:
http://www.scienzematematiche.it/forum/viewtopic.php?f=7&t�2&p386#p3386
> PS. Ho mandato un altro post simile ma mi pare che sia stato respinto
> dal robot moderatore perch� c'era troppo testo citato...
Tornando al discorso relativo alla sincronizzazione, quel discorso che
fai sul fatto che la velocit� della luce misurata rispetto al tempo
proprio � invariante su una circuitazione non l'ho ben capito. Si
tratta certamente di contestualizzarlo. Nel caso di uno spazio-tempo
piatto � certamente possibile definire un sistema di coordinate con
questa propriet� (un qualunque riferimento inerziale), � vero anche se
esiste una foliazione euclidea per una metrica stazionaria? In
presenza dell'ipotesi di stazionariet� localmente � sempre possibile
definire un sistema di coordinate di Fermi e in quel sistema di
coordinate mi sembra che si possa ragionar se � vero che:" usango i
righelli in quiete, applicando il principio di equivalenza, la
velocit� di circuitazione della luce � costante". Si tratta per� di
tener conto correttamente del fatto che in presenza o meno di
curvatura un sistema di coordinate di Fermi non evolve rigidamente. Ad
ogni modo dal momento che un riferimento di Fermi � composto da una
nebula di punti in caduta libera � lecito chiedersi se questi campo
vettoriale � integrabile (l'evoluzione � non collisionale), e nel caso
risulti integrabile la metrica definisce sezioni spaziali che non
necessariamente rimangono piatte al variare della coordinata
temporale. Nelle tue dispense dimostri il teorema della mappa
esponenziale che d� garanzie riguardo all'esistenza di coordinate di
Fermi nell'intorno di un punto.
Nel caso di metrica piatta le coordinate di Fermi si estendono a tutta
la variet� e coincidono con le coordinate di Einstein per il
riferimento inerziale.
Altro esempio di coordinate � quello che si ottiene lasciando in
caduta libera i punti solidali al riferimento rotante in un certo
istante di tempo universale, definiscono certamente un riferimento non
rigido, ma con sezioni euclidee conformi e per ciascun punto la
velocit� di circuitazione � costante, il campo di velocit� � infatti
integrabile e si trova facilmente che la distanza euclidea fra due
punti misurata nel riferimento inerziale del centro � modificata dal
fattore conforme universale sqrt(1 + \omega^2 t^2). Per attribuire il
giusto valore alla velocit� occorre utilizzare questo fattore ed il
tempo universale di questo sistema di coordinate coincide con quello
di Born. Comunque in generale, data la metrica � possibile predire
l'evoluzione di un esperimento.
Per il momento di pi� non so aggiungere.
Received on Sun Nov 01 2009 - 02:56:37 CET