Domanda di algebra lineare (meccanica quantistica)

From: Vend <vend82_at_virgilio.it>
Date: Wed, 4 Nov 2009 10:19:06 -0800 (PST)

Salve, avrei un piccolo problema sul quale sto riflettendo da un po',
e penso sia venuto il momento di chiedere aiuto:

Ho due matrici unitarie di numeri complessi simultaneamente
diagonalizabili rispetto alla stessa base di autovettori (noti). Tali
matrici differiscono solo per un determinato autovalore:

A\equiv\exp(i\cdot\omega_{0}^{(a)})v_{0}^{\dagger}v_{0}+\sum_{k=1}^
{n-1}\exp(i\cdot\omega_{k})v_{k}^{\dagger}v_{k}

B\equiv\exp(i\cdot\omega_{0}^{(b)})v_{0}^{\dagger}v_{0}+\sum_{k=1}^
{n-1}\exp(i\cdot\omega_{k})v_{k}^{\dagger}v_{k}

Per alcuni vettori (noti) x e y sono in grado di calcolare i prodotti
interni:

y^{\dagger}A^{n}x

y^{\dagger}B^{n}x

Vorrei definire una matrice unitaria "intermedia" parametrica rispetto
ad A e B. Intuitivamente avevo pensato di far variare l'unico
autovalore diverso:

C(\tau)\equiv\exp(i\cdot f(\tau))v_{0}^{\dagger}v_{0}+\sum_{k=1}^
{n-1}\exp(i\cdot\omega_{k})v_{k}^{\dagger}v_{k}

Dove f � una funzione reale di variabile reale continua
nell'intervallo [0, 1] tale che:

f(0)=\omega_{0}^{(a)}

f(1)=\omega_{0}^{(b)}

Domanda 1: Ha senso definire la matrice "intermedia" in questo modo?

Domanda 2: Come posso calcolare

y^{\dagger}(C(\tau))^{n}x

(ovviamente dipende dalle componenti dei vettori x e y rispetto alla
base di autovettori)

Domanda 3: se voglio che la dipendenza tra il prodotto sopra definito
e \tau sia lineare (fissati x, y ed n), come posso definire f?

Spero di essere stato abbastanza chiaro e grazie in anticipo ;)
Received on Wed Nov 04 2009 - 19:19:06 CET