Re: Elettrodinamica classica.

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Sun, 18 Oct 2009 09:04:53 -0700 (PDT)

On 17 Ott, 21:32, Tetis <lje..._at_yahoo.it> wrote:
> On 10 Ott, 09:19, Elio Fabri <fa..._at_df.unipi.it> wrote:
>
> > From: Tetis <lje..._at_yahoo.it>
> > Newsgroups: it.scienza.fisica
> > Subject: Elettrodinamica classica.
> > Date: Sun, 4 Oct 2009 18:14:35 -0700 (PDT)
>
> > Tetis ha scritto:> Due sfere concentriche cariche con carica +Q e -Q rispettivamente sono
> > > in moto periodico, non sono ferme, le due sfere possono,
> > > eventualmente, attraversarsi. Ho alcune questioni da porre:
> > > ...
>
> > Scusa ma io non capisco dove sia il problema, che a me sembra banale.
> > Anche generalizzandolo: ho una distrib. di carica a simmetria sferica,
> > che puo' variare nel tempo in modo qualsiasi, con la sola condizione
> > che la carica totale resti costante.
>
> Ok, ho centrato la difficolt�: il problema, non banale :-))), � che
> non basta imporre che la carica totale resti costante per garantire
> che la soluzione delle prime due equazioni risolva anche le altre due.
> Occorre, e per necessit� logica, (della quale non sono tuttavia certo,
> vedi la questione finale), direi basta, che sia verificata l'equazione
> di continuit�.


Si, adesso sono ragionevolmente convinto che la richiesta di moto
continuo per le cariche sia sufficiente oltrech� necessaria.
(Tuttavia, e questa "scoperta" ha stupito anche me, come mostro fra
un attimo l'equazione di continuit� non richiede la conservazione
della carica, sebbene sia implicata da un moto continuo di cariche
conservate). Ricordiamo che la necessit� discende dalla richiesta che
siano verificate le equazioni di Maxwell. mi rimaneva il dubbio che in
caso di moto iperluminale potessero sorgere difficolt� con la
regolarizzazione delle soluzione. Ad ogni modo la divergenza dei campi
sul cono iperluminale non implica una divergenza del flusso e le
soluzioni Cerenkov hanno la graziosa propriet� che il campo elettrico
si sviluppa lungo il cono, in modo che il flusso del campo elettrico
attraverso il cono � nullo e non si generano, per cos� dire, cariche
spurie associate alla singolarit� del campo elettrico. In pratica
quello che succede nel caso di simmetria sferica � che i potenziali
ritardati aggiornano il valore del campo man mano che le cariche
transitano lungo i siti, e solo in quel momento indipendentemente dal
fatto che la carica transiti di moto subluminale o superluminale. In
pratica le equazioni di Maxwell non escludono, da sole, soluzioni
iperluminali.

In conclusione l'unico vincolo imposto dalle equazioni di Maxwell alle
densit� di carica � la sussistenza di un'equazione di continuit�,
ovvero l'esistenza di una corrente associata in modo che valga
l'equazione di continuit�. Questo vincolo, se verificato, implica la
possibilit� di costruire dalle densit� di carica e corrente, una
soluzione causale a simmetria radiale per il nostro problema, la quale
in virt� delle prime due equazioni di Maxwell deve coincidere, istante
per istante con la soluzione elettrostatica. Eventuali dinamiche
iperluminali delle cariche non portano, in questo contesto ad alcuna
violazione di causalit� riguardo ai campi elettromagnetici, in quanto
questi campi sono aggiornati solo nel momento in cui la densit� di
carica fluisce in loco. Diversamente il vincolo di conservazione della
carica non � sufficiente affinch� la soluzione elettrostatica risulti
essere soluzione delle equazioni di Maxwell nel loro complesso in
quanto da solo non implica la sussistenza di un'equazione di
continuit�. Nei casi in cui ad una variazione di densit� di carica non
sia possibile associare una corrente risulta infatti impossibile
verificare le equazioni di Maxwell dinamiche.

Ad ogni modo questo implica anche che la conservazione della carica
diventa a sua volta una condizione sufficiente. Infatti per un teorema
di Hertz una volta che di un campo siano assegnato il rotore e la
divergenza questo campo rimane univocamente determinato a meno del
gradiente di una funzione armonica. Di conseguenza, nel nostro caso
una volta assegnata la legge di variazione della densit� di carica �
possibile costruire univocamente un campo di corrente. Per esempio nel
caso che la carica fluisca, istantaneamente fra due gusci sferici,
possiamo cercare una corrente radiale che risolva l'equazione
differenziale di primo ordine:

d rho / dt = d (r^2 j)/dr.

sicch� integrando e fissando la condizione iniziale nell'origine delle
coordinate, che dipende dalla variazione della carica concentrata
nell'origine, risulta effettivamente una sola soluzione radiale per la
densit� di corrente.

A questo punto per� ho scoperto, e questo � l'aspetto pi� curioso che
avevo preannunciato all'inizio, che la conservazione della carica non
� implicata dall'equazione di continuit� e quindi dalle equazioni di
Maxwell. Infatti nulla impedisce di considerare un campo di corrente
radiale della forma: k/r^2, singolare nell'origine. In pratica le
equazioni di Maxwell implicano l'equazione di continuit�, ma non la
conservazione della carica. Il fatto che sia possibile una variazione
istantanea del campo elettrico in tutto lo spazio non � incompatibile
con le equazioni di Maxwell. Infatti la variazione del campo
elettrico, nel caso che il campo magnetico sia costante pu� essere
prodotta semplicemente da un flusso di corrente. Di conseguenza non
c'� nemmeno da preoccuparsi per la causalit�.

In breve, riscrivo le equazioni di Maxwell nel caso di simmetria
radiale:

div(E) = rho
div(B) = 0
dB/dt = 0
j = - dE/dt.

dall'ultima equazione, considerando la divergenza e sostituendo la
prima equazione ottengo div(j) = - d(rho)/dt. E concludo che nel caso
di simmetria radiale del moto delle cariche l'equazione di continuit�
ammette una soluzione univoca per la corrente una volta che sia
assegnata la legge di variazione della densit� di carica totale.
Osservo infine che la variazione del campo elettrico � determinata
univocamente dal flusso di corrente, compatibilmente con la prima
equazione. Come sotto prodotto di questa semplicissima conclusione ho
trovato che la conservazione della carica totale non � implicata
dall'equazione di continuit� (a meno di aggiungere una nozione
particolarissima di carica all'infinito spaziale) e che le equazioni
di Maxwell hanno soluzioni iperluminali. Ad ogni modo occorre
osservare che non � mai necessario, avendo come sole informazioni le
equazioni di Maxwell, scomodare soluzioni iperluminali per rendere
conto della variazione istantanea di campi in tutto lo spazio, �
sufficiente infatti notare che ogni corrente pu� essere ottenuta come
somma di una corrente di carica positiva e di una corrente di carica
negativa. E nella fattispecie anche quando j/rho > c � possibile
porre:
rho = rho+ - rho- e v- = 0 e per un dato valore v+<c esiste una
soluzione: rho+ = j/v+ e rho- = rho+ - rho.
Received on Sun Oct 18 2009 - 18:04:53 CEST