Una questione teorica di possibile interesse pratico.

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Thu, 24 Sep 2009 17:05:47 -0700 (PDT)

Ripropongo questo quesito di elettrostatica perch� si presenta di
semplice impostazione e soluzione anche senza considerare la teoria
dei campi ma conduce a risultati a prima vista curiosi. Diciamo che
tutto parte dall'idea di distribuire delle cariche elettriche su una
superficie e lasciarle evolvere fino ad una configurazione di minima
energia. Ci si aspetta che la densit� di carica converga pi� o meno a
quella che assumerebbe un continuo di cariche, eccetto che � noto
dallo studio del problema di Thomson, ad esempio, che una
configurazione discreta di cariche riesce ad accedere ad energie pi�
basse di quanto non possa una distribuzione continua. Studiare questo
problema tuttavia richiede una soluzione numerica che procede alla
ricerca del minimo ed � difficile per via teorica giungere a delle
conclusioni. Per evitare questa difficolt� mi sono rivolto ad una
variante. L'idea era la seguente: se invece che lasciare muovere le
cariche elettriche sulla superficie io cercassi la configurazione di
minima energia per un sistema di conduttori sferici fissati e adagiati
sulla superficie e poi facessi tendere a zero il diametro di queste
sfere cosa otterrei. Risulta che questa impostazione, in cui ogni
sfera contribuisce all'energia mutua con un termine di monopolo ed
all'autoenergia come se la carica si distribuisse uniformemente sulla
superficie, ammette una soluzione piuttosto semplice sul piano
teorico: infatti, al costo di trascurare l'energia di dipolo (che a
campo assegnato � proporzionale al volume della sferetta),
approssimazione che possiamo ritenere lecita nel limite di sfere
infinitesime otteniamo che l'energia di questo sistema � espressa da
una forma quadratica nelle cariche residenti su ciascuna sfera. Per
questa forma quadratica il problema di minimo si riduce all'inversione
di una matrice. Il risultato � che si ottiene la distribuzione di
carica per ogni punto con una semplicissima operazione algebrica che
ogni programma di calcolo preconfezionato per la trattazione di
matrici pu� risolvere. Passando all'azione per�, si trova una
sorpresa: la distribuzione di cariche che si ottiene in alcune
situazioni concrete particolarmente semplici (ovvero nel caso
bidimensionale, in cui � possibile ottenere la soluzione esatta della
distribuzione di carica per alcune selezionate configurazioni non
banali) � tutt'altro che prossima alla distribuzione di carica
continua che si adagerebbe sulla superficie se non in pochi casi
fortunati.

La soluzione dipende in qualche modo persino da come viene effettuato
il limite. Allo sgomento iniziale ed alla sensazione di un errore �
subentrata una fase analitica che mi ha portato a comprendere
l'origine del risultato, che ora ritengo corretto, infatti oltre ad
essere spiegabile � proprio quanto occorre attendersi sulla base di
una evidenza il cui contenuto fisico � che la geometria delle sferette
� ben lungi dall'essere ininfluente perch� fondamentalmente il termine
di autocampo del monopolo di ciascuna sferetta diventa il contributo
dominante all'energia, ma mentre nel caso di cariche assegnate libere
di muoversi questo termine � costante, nel nostro caso � la sua
variazione a definire la componente principale della variazione
dell'energia nei pressi della configurazione di equilibrio. Cosa
significa questo, significa che calibrando il raggio delle sferette �
possibile controllare la disposizione di equilibrio delle cariche
sulla superficie. Per non togliervi nulla del gusto di impostare
autonomamente il problema vi propongo solamente delle questioni a cui
una impostazione mirata pu� rispondere.

Un certo numero di sfere conduttrici eguali, il cui diametro �
trascurabile rispetto alla distanza minima fra le sfere, viene
distribuito su una superficie liscia e regolare. Le sfere sono
collegate le une alle altre da sottili fili conduttori e le posizioni
sono fisse, fra tutte queste sfere si distribuisce una certa carica.
Le sfere sono distribuite in modo che la densit� numerica per unit� di
superficie viene assunta proporzionale alla densit� di carica che
risiederebbe in quel punto.

1) Esiste ragione di credere che al tendere ad infinito del numero di
sferette, diminuendo il diametro delle sfere in modo proporzionale
alla distanza minima, per un assegnata porzione di superficie la
densit� di carica tenda a qualche valore costante?


2) Supponiamo di fissare una data configurazione di un fissato numero
di sfere e di diminuire il diametro delle sfere, per ogni sfera la
variazione � monotona decrescente, ma la funzione pu� dipendere dal
punto, in modo che da punto a punto la funzione sia la stessa a meno
di un fattore di scala.


Esiste ragione di credere che al tendere a zero del diametro delle
sfere la carica residente tenda ad un limite?
Se si come pu� cambiare questo limite al variare del fattore di
scala?


Per fissare le idee senza perdersi nei dettagli relativi alla
distribuzione di un insieme di punti su una superficie si consideri il
problema bidimensionale tenendo presente che in tal caso il potenziale
di una carica q a distanza r assume un valore: q ln(r/r0) che dipende
dall'unit� di misura r0 delle lunghezze, questa dipendenza da r0 non
affligge tuttavia la condizione di equilibrio. In tal caso si pu�
assumere che la linea sia il bordo di un dominio semplicemente
connesso che, per il teorema del mapping di Riemann � immagine
biolomorfa del disco unitario, la distribuzione dei punti,
concordemente all'ipotesi che la densit� numerica deve risultare
asintoticamente proporzionale alla densit� di carica nel punto, �
ottenuta dalla mappa di una distribuzione uniforme sul bordo della
circonferenza.
Received on Fri Sep 25 2009 - 02:05:47 CEST