naturalezza in QFT [lungo]

From: argo <brandobellazzini_at_supereva.it>
Date: Sun, 5 Jul 2009 06:13:31 -0700 (PDT)

Sono alcune settimane che ho in testa di proporre un argomento
difficile al newsgroup che pero' e' di grande importanza nell'attuale
ricerca in fisica delle alte energie: la naturalezza in QFT. Mi e'
venuto un post molto lungo ma spero ancora leggibile.

Il tema della naturalezza ha anche altri nomi a seconda del contesto
dove appare. Quando si parla di naturalezza si parla anche di fine-
tuning, del problema della gerarchia, del gruppo di
rinormalizzazione, della fisica del flavor, delle divergenze, etc.
Questi temi sono alla base di problemi fenomenologici quali quello
della costante cosmologica e della stabilita' della scala
elettrodebole, e motivano scenari oltre il modello standard, tra tutti
quelli supersimmetrici.

Che cosa e' la naturalezza in QFT e a che cosa serve in fisica?
Gia' rispondere a queste domande non e' semplice perche' coinvolge
l'interpretazione delle divergenze in QFT.

Prendiamo ad esempio un campo scalare Phi(x) con x di spaziotempo.
Le osservabili fisiche sono operatori composti O(x) costruti a partire
da prodotti dei campi Phi(x) nello stesso punto. I valori di
aspettazione sul vuoto
(O_{i1}(x1)...O_{in}(xn)), le funzioni di correlazione o di Green
definiscono il sistema.
Un esempio di operatore composto e' il tensore energia-impulso T_{mu
nu}oppure la corrente elettrica in QED. Tuttavia, come e' ben noto, il
prodotto di campi nello stesso punto spesso presenta le cosiddette
divergenze ultraviolette. Un esempio classico e' ad esempio la
definizione di Phi(x)^{2}infatti il prodotto 'naive' Phi(x)Phi(y) e'
singolare per y->x.
Prodotti di campi nello stesso punto appaiono anche nell'azione S
stessa.

Un modo operativo di definire una QFT e le sue osservabili e' dunque
di introdurre un regolarizzatore L che permetta di definire una
teoria sensata tale che nel limite in cui il regolatore viene rimosso
(diciamo prendendo il limite di L a infinito) dia la teoria formale
classica associata all'azione di partenza.
Dopo aver regolarizzato e dunque aver ottenuto espressioni finite per
valori finiti del cutoff, si procede alla rinormalizzazione. Ovvero un
procedimento in cui si da' senso e valore finito alle funzioni di
correlazione quando il regolatore viene rimosso. E' possibile mostrare
infatti che le divergenze sono sempre locali, cioe' sono sempre
funzioni polinomiali negli impulsi esterni (lavorando in trasformata
di Fourier delle funzioni di correlazione).
Questo significa che esistono sempre delle interazioni locali che
coinvolgono un numero finito di derivate e campi (tutti definiti nello
stesso punto di spaziotempo) che possono rimuovere la divergenza se
ne aggiustiamo i coefficienti in modo opportuno. In particolare queste
interazioni locali che aggiungiamo per rimuovere le divergenze
dipendono dal cutoff L.
In pratica, l'azione S avra' coefficienti che sono divergenti nel
cutoff ma fornira' funzioni di correlazione, cioe' le quantita'
fisiche, che sono finite. Le teorie in cui le divergenze possono
essere sottatte da un numero finito di interazioni locali a tutti gli
ordini sono dette rinormalizzabili. Teorie in cui si includono
nell'azione tutti I termini di interazione compatibili con le
simmetrie del sistema (regolarizzato) di dimensione minore uguale a
quattro sono rinormalizzabili. La QED e la QCD sono esempi di teorie
rinormalizzabili.

Questo e' il meccanismo della rinormalizzazione con il quale si da'
senso alla QFT. Tuttavia e' emerso negli ultimi 30 anni
un'interpretazione della rinormalizzazione e delle divergenze che
spiega in maniera convincente il successo sperimentale delle teorie
rinormalizzabili.
L'interpretazione nasce dalla considerazione che ogni teoria di campo,
invece di essere pensata come una teoria definitiva valida a tutte le
scale di energia arbitrariamente grandi, e' in realta
l'approssimazione di bassa energia di una teoria piu' fondamentale i
cui gradi di liberta' diventano rilevanti ad una qualche scala (di
energia) Lp molto piu' grande della scala fisica E alla quale siamo
interessati e alla quale la QFT in questione e' emersa come
descrizione accurata di alcuni fenomeni fisici'. Il regolatore L puo'
dunque essere preso molto grande, ma finito, dell'ordine di Lp. Per
essere piu' concreti possiamo pensare ad Lp come alla massa pesante di
un nuovo campo che viene eccitato solo ad energie dell'ordine di Lp.
Come viene influenzata la fisica di bassa energia dalla fisica
sconosciuta alle alte energie del cutoff L=Lp? La risposta e' data dal
gruppo di rinormalizzazione.
Per legare gli effetti a scale diverse, possiamo infatti usare il
running delle costanti di accoppiamento. Rimuovere il cutoff
ultravioletto L nella rinormalizzazione significa semplicemente
guardare il limite di bassa energia. Se ci troviamo nel bacino di
attrazzione di un punto fisso, il limite L che va all'infinito ha
senso e da' risultati finiti mandando i couplings al punto fisso
infrarosso. Il bacino di attrazione e' definito dalle direzioni
normali ai coupling rilevanti (dimensione minore di 4). Se ci troviamo
fuori dal bacino di attrazione ma vicino abbastanza alla sua
superficie (detta critica), al crescere di L ci avviciniamo al punto
fisso per poi allontanarci a causa di uno dei parametri rilevanti.

Dunque se aggiustiamo le condizioni iniziali nello spazio dei coupling
in modo che siano sempre piu' vicini alla superficie critica al
variare di L, possiamo ottenere una teoria non banale finita. Questa
aggiustamento (o fine-tuning) richiede che il punto iniziale vada
sulla superficie critica nel limite L infinito. Dunque, richiedendo
che i parametri rilevanti si annullino con il cutoff, possiamo
rimuoverlo e ottenere una teoria sensata e finita con L mandato
all'infinito (infatti I parametri irrilevanti vanno a zero).

Nota che ad L ora diamo anche un significato fisico e puo' essere
tenuto finito in quanto rappresenta la scala Lp in cui nuovi fenomeni
avvengono. Anche le divergenze assumono un significato.
In quest'ottica ad esempio le divergenze quadratiche in un parametro
di massa vogliono dire che abbiamo un coupling rilevante che si
allontana dalla superficie critica quadraticamente nel cutoff L, e che
quindi se vogliamo una teoria finita con una massa ~m dobbiamo
aggiustare la condizione iniziale con una precisione ~(L/m)^2.
Questo e' di fatto la radice di quello che viene chiamato il problema
della naturalezza nel settore dell'Higgs. La nuova fisica dei gradi di
liberta' pesanti al cutoff L non e' disaccoppiata dai gradi di
liberta' leggeri ma anzi ne influenza la dinamica attraverso
contributi quadratici nelle masse. Del resto questo e' verificabile
direttamente: prendete una teoria di un campo scalare accoppiata ad un
fermione pesante di massa M. Il running della massa del campo scalare
dipendera' quadraticamente nella massa del fermione pesante cosi' che
una piccola modifica della fisica alle alte scale di energia L~M ha un
grande impatto alle basse scale.

La presenza di simmetrie allevia il comportamento a potenza di alcuni
parametri rilevanti e fa che si comportino in funzione della scala L
come parametri marginali. Un esempio di questo fatto e' ad esempio la
divergenza logaritmica, invece che lineare, dell'autoenergia
dell'elettrone in QED a causa della simmetria chirale (nel limite
m_e=0).
E' proprio per questo che si cercano argomenti, simmetrie e meccanismi
di qualche sorta nel settore dell'Higgs per alleviare l'eccessivo fine-
tuning richiesto tra i parametri della teoria al cutoff L che i dati
di precisione elettrodeboli spingono alla scala di qualche TeV (per
non parlare della gerarchia con il cutoff imposto dalla costante di
Planck). Naturalmente la parte difficile e' il fatto che |H|^2 e'
completamente scarico e quindi sembra comportarsi come un parametro
rilevante a tutti gli effetti e non come un parametro marginale.

Una via di fuga e' fornita pero' dalla supersimmetria che lega tra
fermioni e bosoni. In particolare gli effetti della simmetria chirale
per i fermioni si manifesta anche sui bosoni dello stesso
supermultipletto. Quindi il cefficiente di |H|^2 cresce
quadraticamente solamente nei parametri di rottura della
supersimmetria ma non nel cutoff ultravioletto.
Naturalmente ci sono altre soluzioni e alternative alla supersimmetria
ma che ancora si basano su argomenti di simmetria (stavolta interne).
Un esempio su tutte sono le teorie in cui l'Higgs e' leggero perche'
e' uno (pseudo) bosone di Goldstone in modo del tutto simile ai pioni
della QCD che hanno masse ben piu' leggere della scala
caratteristica, ~m_{protone}.

Un problema anaologo a quello della scala elettrodebole e' dato dalla
costante cosmologica perche' l'operatore identita' cresce con la
potenza quartica del cutoff (colgo l'occasione per dire che gli
effetti quantistici modificano questi andamenti con la scala del
cutoff attraverso le dimensioni anomale. Tuttavia solitamente queste
correzioni sono piccole rispetto ai valori discreti nel conteggio
delle potenze di massa dei couplings). Una teoria con susy non rotta
fornirebbe una soluzione anche a questo problema per il legame tra I
generatori della supersimmetria e l'Hamiltoniana. Tuttavia una susy
rotta alla scala M_{soft}~300 GeV creerebbe ancora una tensione molto
grande con il valore molto piccolo ~meV osservato per la costante
cosmologica.

Mi fermo qui perche' ho scritto veramente troppo ed e' meglio
aspettare un vostro feedback!
Ciao.
Received on Sun Jul 05 2009 - 15:13:31 CEST