Re: Pianetini

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_units.it>
Date: Wed, 10 Jun 2009 22:53:20 +0200

Teti_s wrote:
> Il 06 Giu 2009, 08:28, Giorgio Pastore <pastgio_at_units.it> ha scritto:
...
>> Attenzione: non tutte le costanti del moto. In particolare l' energia
>> del tuo sistema sara' conservata solo all' ordine dt^2. Vedi dopo.
>
> Certo, grazie per avermelo ricordato, mi aspetto per� che siccome il volume
> di fase � rigorosamente conservato, ed esiste una relazione fra l'energia ed
> il volume di fase racchiuso mi aspetto che eventuali violazioni si medino a
> zero su moti periodici o quasi periodici,

Mediare a zero non implica che siano sempre nulle.

> altrimenti il successo pratico di
> questi algoritmi nel generare le orbite regolarissime che osservo,
> nonostante gli errori di approssimazione di tutti i processori sarebbero
> inspiegabili.

Non sono inspiegabili ma discendono dal fatto che, per ogni delta t, gli
integratori simplettici integrano *esattamente* le equazioni del moto
per una diversa hamiltoniana (ghost) che differisce da quella originale
per termini O(dt^2). Inoltre si trova anche che l' hamiltoniana
originale e l' hamltoniana ghost condividano parte delle simmetrie.
Quindi alcune costanti del moto (p.es. momento e mom. q. di moto) sono
preservate esattamente anche nell' integrazione dell' hamiltoniana
ghost, comportando una conservazione di quelle costanti del moto a
precisione macchina. Tutto cio' vincola fortemente cosa il sistema
"perturbato" corrispondente all' integrazione numerica puo' fare.


>> Prima di trarre qualsiasi conclusione, sarebe da tener sotto controllo
>> quanto bene si conserva l' energi aocl tuo time step. Le veriazioni di
>> velocita' in un' orbita planetaria non quasi circolere sono
>> sufficienti a rendere la conservazione dell' energi abbastanza
>> scadente.
>
> In effetti mi sono accorto di questo: orbite con eccentricit� sostenuta
> deragliano molto prima dal regime teorico dovuto alla simmetria di quanto
> non facciano orbite circolari o con eccentricit� pi� bassa ma avevo pensato
> che il problema fosse da imputare al valore medio dei coefficienti di
> Lyapunov cio� ad una instabilit� dinamica genuinamente pi� significativa per
> quel tipo di orbite. D'altra parte so bene che possono esserci effetti di
> caos spurio indotti dalla discretizzazione.

Direi che le due cose concorrono a dare il comportamento osservato. Ma,
  per quanto detto sopra, occorre prima garantirsi un dt
sufficientemente piccolo da tener sotto conrollo l' energia.

... (a proposito voi che riferimenti teorici usate per spiegare gli
> integratori simplettici?).

Attualmente il metodo piu' diffuso per derivare e studiare integratori
simplettici e' quello di partire dall' operatore di evoluzione
temporale (introducendo il Liouvilliano com generatore) e procedendo ad
approssimare questo.

Giorgio
Received on Wed Jun 10 2009 - 22:53:20 CEST