Re: Un teorema inquietante.

From: Teti_s <"te..."_at_libero.it>
Date: Thu, 12 Mar 2009 15:58:42 GMT

Il 08 Mar 2009, 18:07, "Bruno Cocciaro" <b.cocciaro_at_comeg.it> ha scritto:

> > In particolare facendo il
> > conto in coordinate cartesiane trovo che la derivata terza rispetto a
zeta
> > del potenziale 1/r � proprio: z (2 z^2 - 3 r^2) / (z^2+r^2)^(7/2).
>
> ah ma per trovare la componente z del campo dovuto al multipolo
> (l,m=0)-esimo basta fare la derivata (l+1)-esima rispetto a z di 1/r ?
> E magari c'e' qualche altra scorciatoia per le componenti x e y ?

Rimaneva in sospeso questa domanda. La risposta � s�: perch� derivando solo
rispetto a zeta si ottiene una grandezza invariante per rotazioni intorno
all'asse zeta. Per ottenere il contributo di multipolo di grado pi� alto
occorre iterare l volte l'operatore di derivazione: (d/dx - i d/dy). In
generale baster� prendere l'armonica sferica di autovalori (l,m) e
sostituire z con d/dz , x con d/dx, y con d/dy. Per mantenere l'autovalore
occorre avere l'accortezza di sostituire i con -i.

In pratica non si tratta di altro che di uno sviluppo in serie di Taylor,
per� non tutte le derivate sono funzionalmente indipendenti il pundo �:
derivando 1/r che � armonica oppure ln|r/L| anch'essa armonica in due
dimensioni, si ottengono funzioni armoniche (per il teorema di Schwartz di
intercambiabilit� dell'ordine di derivazione) ovunque eccetto che
nell'origine, queste funzioni hanno la forma P(r)/r^k con P(r) un polinomio
il cui grado dipende, al pari di k, solo dal grado totale della derivata
considerata. Ad esempio in due dimensioni hai solo due funzioni di base per
ogni autovalore del momento angolare, mentre hai l+1 operatori di
derivazione nello sviluppo di Taylor, � semplice calcolare alcune derivate e
persuadersi che in effetti sono tutte combinazioni lineari di due funzioni
il cui numeratore � un polinomio (di Chebychev?) che si pu� ottenere
facilmente al modo seguente:

si sviluppa:

cos(m t)
sen(m t)

fino ad esprimero in cos(t) e sen(t) quindi si sostituisce cos(t) con x e
sen(t) con y. Per ottenere le funzioni invarianti occorre sviluppare
(e^it)^m e procedere alla solita sostituzione. Queste sono le funzioni
armoniche cilindriche, ordinate per grado.

Nel caso sferico le derivate di grado m sono C(m+2,2)=(m+2)(m+1)/2 mentre le
funzioni armoniche con numeratore di grado m sono 2m+1. Da notare che
secondo la convenzione elettrostatica quello che hai scritto � un termine di
ottupolo ed � il quarto termine di sviluppo. Tuttavia in magnetostatica,
dove comunque mi sembrava si chiamasse ottupolo, � il terzo termine non
nullo dello sviluppo di Taylor.

> Scusa eh, magari dovrebbero essere cose arcinote, ma io con questi
multipoli
> non ho mai avuto una gran pratica.

Mi sa che anch'io non sono mai andato molto oltre il quadrupolo, in pratica
nei problemi con le antenne a fisica due si usava quasi sempre
approssimazione di dipolo ammesso che facessimo gli sviluppi di Taylor
anzich� cercare il modo furbo per calcolare il campo esatto. Tu con chi hai
seguito fisica due?

> Ciao.
> --
> Bruno Cocciaro
> --- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
> --- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
> --- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
>

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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Thu Mar 12 2009 - 16:58:42 CET

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