Re: Particelle, distribuzioni e cambi di variabili

From: Aleph <no_spam_at_no_spam.it>
Date: Wed, 10 Dec 2008 10:26:36 +0100

popinga ha scritto:

> Il 04 Dic 2008, 18:41, popinga ha scritto:

> > r(E)= g1(E)/g2(E)
> >
> > ma, come ho detto, g1 e g2 sono ignote. Quello che mi chiedo � se
> partendo
> > dalla sola conoscenza di r(E) posso ottenere l'equivalente distribuzione
> in
> > impulso
> > h(p)= f1(p)/g1(p)

> qui ovviamente intendevo
> h(p)=f1(p)/f2(p)

> Ma f1 e f2 non mi interessano. Quello che cerco � un modo di ottenere h(p)
> dalla sola conoscenza di r(E) (e delle due masse). Non mi sembra troppo
> scontato provare che questa possibilit� esiste (per�, se esiste, penso di
> avere trovato la soluzione).

Adesso ho capito esattamente cosa intendi e credo che, contrariamente a
quanto ti avevo scritto nell'altro post, la tua richiesta in generale non
sia soddisfabile.

In effetti poich� valgono le relazioni:

h(p) = f1(p)/f2(p) = r'[E1(p),E2(p)]*[E2(p)/E1(p)] =
= [g1(E1)/g2(E2)]*[sqrt(p^2 + M2^2)/sqrt(p^2 + M1^2)] (1)

e analogamente

r(E) = g1(E)/g2(E) = h'[p1(E),p2(E)]*[p2(E)/p1(E)] =
= [f1(p1)/f2(p2)]*[sqrt(E^2 - M2^2)/sqrt(E^2 - M1^2)] (2)

al secondo membro di entrambe le espressioni ti troverai sempre delle
funzioni di due variabili [r'(E1, E2) = g1(E1)/g2(E2) e
h'(p1, p2) = f1(p1)/f2(p2), con E1 =/= E2 e p1 =/= p2 rispettivamente],
che sono ovviamente cosa diversa da r(E) e h(p) (funzioni di una sola
variabile).

Pertanto, in generale, per passare dalla conoscenza di r(E) a quella di
h(p), sar� necessario conoscere, magari sulla base di considerazioni
teoriche o deducendoli dai dati noti, gli andamenti delle g1(E) e g2(E).

Dalla (1) si deducono tuttavia alcune interessanti espressioni
approssimate, valide in alcuni regioni limitate delle energie/impulsi e/o
delle masse delle particelle.

Intanto, per M1 non troppo diversa da M2 una buona espressione
approssimata, che vale per tutti gli intervalli di energia/impulso � la
seguente:

h(p) = f1(p)/f2(p) circa = r[E*]*[E2(p)/E1(p)] =
= r[E*]*[sqrt(p^2 + M2^2)/sqrt(p^2 + M1^2)]

dove con E* si � indicato il valore di enrgia intermedio tra E1 ed E2;

mentre per p >> M1 > M2

vale, al primo ordine in M1/p l'espressione approssimata

h(p) = r(E(p)) .

I problemi si hanno tuttavia per masse molto diverse, M1 >> M2, nel regime
di basso impulso p << M2; in tal caso la (1) si riduce, al primo ordine in
p/M2, alla:

h(p) = f1(p)/f2(p) = r'[E1(p),E2(p)]*[E2(p)/E1(p)] =
= [g1(E1)/g2(E2)]*M2/M1

con E1 molto =/= da E2.

In questo caso, come gi� detto sopra, non � possibile ricavare h(p) senza
conoscere i comportamete separati delle g(E).

Saluti,
Aleph
 
 




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Received on Wed Dec 10 2008 - 10:26:36 CET

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