Re: Conservazione quantità di moto e spazio omogeneo e isotropo

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Thu, 18 Sep 2008 10:07:11 -0700 (PDT)

On 16 Set, 20:33, Lurkos <lurkos.use..._at_gmail.com> wrote:
> Ho sempre visto il principio di conservazione della quantit� di moto (e
> quindi le equazioni cardinali della dinamica) come condizione necessaria
> e sufficiente del principio di azione e reazione.
> Altre fonti per� precisano che quest'ultimo deriva dall'ipotesi di
> omogeneit� e isotropia dello spazio.
> In che senso la condizione di spazio omogeneo e isotropo implica il
> terzo principio della dinamica?
>
> --
> Lurkos

Che lo spazio (di un riferimento inerziale in fisica classica o in
relativit� speciale) sia omogeneo, significa che: la lagrangiana (in
realt� si pu� indebolire riferendosi all'azione) di un qualsiasi
sistema fisico isolato � invariante per traslazione in una ogni
direzione.

Questo fatto astratto ha una conseguenza, che entro certi limiti �
equivalente all'omogeneit� dello spazio, e che ha un significato
fisico pi� diretto. se vale l'omogeneit� dello spazio nel senso
scritto sopra allora vale anche quanto segue. Se faccio un esperimento
preparando il sistema con certe condizioni iniziali e lasciandolo
evolvere, e poi ripreparo il sistema con condizioni iniziali traslate
della traslazione comune u, allora l'evoluzione che ne viene fuori �
la stessa di prima, eccetto che � *cambiata per la sola traslazione
u*, con cui avevo traslato le condizioni iniziali.

Se la lagrangiana di un sistema fisico � invariante per le traslazioni
nella direzione u (e questo accade per principio, per ogni sistema
isolato studiato in un riferimento inerziale e per ogni direzione u)
il teorema di Noether ti assicura che esiste un "integrale primo",
cio� una grandezza conservata sui moti del sistema, associata alla
direzione u. Per definizione l'integrale primo associato alla
direzione u � la componente della quantit� di moto del sistema lungo
u.
Nel caso in cui il sistema fisico sia classico ed elementare, cio� un
insieme di punti che interagiscono (istantaneamente) tra di loro, con
forze dedotte da un potenziale, si vede, facendo il conto, che
l'integrale primo che salta fuori � davvero la quantit� di moto totale
del sistema come definita in meccanica classica poiettata sulla
direzione u.

Nel caso in cui il sistema � pi� complesso, per esempio particelle +
campi d'interazione che si propagano ed hanno la lor lagrangiana, il
teorema funziona ancora, per� questa
volta l'integrale primo che viene fuori, tiene conto anche di un
contributo dovuto ai campi. Per esempio, in questo modo scopri che il
campo eletrromagnetico porta impulso...(non � l'unico modo di scoprire
ci�, ci sono modi anche pi� elementari...)

La cosa non � limitata alle traslazioni, il teorema di Noether vale
per tutto il gruppo delle isometrie dello spazio di Minkowski (gruppo
di Poincar�) oppure dell'analogo gruppo dello spaziotempo della fisica
classica (gruppo di Galileo). E vengono fuori 10 grandezze conservate
scalari: 3 componenti dell'impulso, 3 componenti del momento angolare
(invarianza per rotazioni), 1 l'energia (invarianza per traslazioni
temporali) + ? ne mancano 3 !
(chi sono i 3 che mancano dovuti all'invarianza sotto i 3 boost/
trasformazioni pure di Galileo?? ;- ) )

Il teorema di Noether si estende alle "simmetrie interne" (per esempio
la conservazione della carica elettrica deriva, in quest'ottica,
dall'invarianza di gauge...) che si usano in teoria dei campi
(quantistica e no)...ed ha dato il linguaggio stesso per la
formulazione delle teorie unitarie (unitarie significa che la
lagrangiana � (pi� o meno) invariante sotto un gruppo di tipo
"unitario") che popi hanno portato al modello standard.
Il teorema di Emmy Noether (nelle sue varie versioni) si � rivelato,
probabilmente, il teorema pi� importante di tutta la fisica teorica.

La storia vale con le debite modifiche anche nelle teorie quantistiche
(in tal caso non c'� pi� l'azione ma l'osservabile hamiltoniana, anzi
l'evolutore temporale) e in relativi� generale (ma in tal caso ci
vuole il tensore energia impulso e le simmetrie di Killing), ma si
entra nel difficile e non saprei se hai voglia di sentirlo...di certo
io non ho pi� tempo per spiegarlo ora ;-) ).

   Ciao, Valter
Received on Thu Sep 18 2008 - 19:07:11 CEST