Il 07 Set 2008, 22:22, ?manu* <paolini_at_NO.math.unifi.SPAM.it> ha scritto:
> Giorgio Pastore wrote:
> Dunque i reticoli sarebbero dei grafi. Ad esempio per il reticolo
> quadrato puoi prendere i punti del piano che hanno almeno una coordinata
> intera. Il suo complementare � un unione di quadrati aperti di lato 1.
>
> Se X � un insieme, lo "r-ingrassato" di X sarebbe l'insieme dei punti
> che distano meno di r da X. Dunque l'ingrassato del reticolo di cui
> sopra (con r abbastanza piccolo) � una unione di strisce. Il suo
> complementare � una unione di quadrati disgiunti di lato 1-2r.
>
> Due insiemi si dicono "omeomorfi" se possono essere messi in
> corrispondenza biunivoca tramite una funzione continua con inversa
> continua. Due insiemi omeomorfi sono indistinguibili dal punto di vista
> topologico, quindi hanno gli stessi gruppi di omotopia e di omologia.
>
> E.
Mi sembra parzialmente inesatto. Un nodo in R^3 � omeomorfo ad un nodo in
R^4 ma non tutti i nodi sono equivalenti dal punto di vista topologico.
Infatti i gruppi di omologia relativa del nodo e del complementare possono
differire da nodo a nodo. In tal modo potrebbe, in linea di principio,
verificarsi che il gruppo di omologia relativa del pieno rispetto al vuoto e
del vuoto rispetto al pieno differiscano. Non mi sembra immediato trovare un
esempio per il caso di reticoli infiniti. La perplessit� di Giorgio tuttavia
� ad un livello ulteriore, infatti la differenza topologica fra linea e
volume � ad un livello differente rispetto all'omotopia? La topologia
combinatoria o algebrica di un reticolo � indubbiamente utile in alcuni
contesti applicativi. Dal punto di vista dell'analisi simpliciale � evidente
una maggiore ricchezza strutturale del simplesso tetraedrico rispetto alla
sfera. Questa ricchezza strutturale ha sempre a che fare con l'omologia
relativa. Inoltre in teoria degli insiemi le gerarchie di derivazione degli
insiemi permettono strutture pi� complesse rispetto a quelle che possono
essere ottenute considerando semplicemente sottoinsiemi di spazi topologici
euclidei. Questo � importante in fisica perch� la differenza fra
un'istantanea ed un film � piuttosto sostanziosa e modellizzare una dinamica
richiede spesso strutture pi� forti di quelle fornite dalla geometria
euclidea. Per esempio: un reticolo booleano pieno modellizza bene la
topologia degli spazi di Stone, ma occorrono reticoli di Heyting ovvero
sottoinsiemi di reticoli booleani a modellizzare vincoli di carattere
temporale. In un caso hai categorie gruppali in un altro categorie
monoidali. Nei completamenti di spazi di Stone che chiami spazi polacchi
vige la classificazione di Baire delle categorie di derivazione, nei
completamenti costruttivisti di reticoli di Heyting la classificazione si
apre a categorie di derivazione non standard. Inoltre, tornando alla
topologia dello spazio tempo: le algebre di Von Neumann dei prodotti
tensoriali infinito dimensionali, che si applicano nella teoria delle reti
di spin ammettono molteplici strutture di derivazione, e quella di Boole
impone di trattare punti lontani come se fossero vicini per via di un
fenomeno che si verifica negli spazi di Hilbert infinito dimensionali quando
si considera la generalizzazione del gruppo unitario al caso infinito
dimensionale. Infatti mentre i gruppi U(N) sono gruppi di Lie
differenziabili e compatti con buone propriet� metriche, il gruppo unitario
infinito dimensionale � un gruppo di Lie con struttura Frechet e le nozioni
di differenziale di Frechet e di Gateaux che sono strettamente connessi nel
caso finito dimensionale vanno trattati con cautela nel caso infinito
dimensionale. I principi variazionali richiedono modificazioni sostanziali
per adattarsi alla fenomenologia che va sotto il nome di quantum ladder. Fra
tutte le strutture che � possibile estrarre dai reticoli del gruppo unitario
infinito dimensionale quelle che sembrano pi� promettenti sono quelle che
somigliano di pi�, strutturalmente, al gruppo dei diffeomeomorfismi del
cerchio, ma lo generalizzano ad una struttura di contatto anzich�
simplettica, l'algebra di Virasoro associata con il gruppo dei
diffeomeomorfismi del cerchio ammette un'estensione centrale, ma non
permette l'implementazione della teoria dei campi generalizzati di Einstein
perch� comporta tensori simmetrici, l'algebra della CFT, diversamente, che
sembra emergere naturalmente in modelli di reti di spin con direzione
temporale, come nello studio del gruppo di De Sitter, ha un'estensione
centrale compatibile con la teoria dei campi di cui parla Einstein
nell'articolo ripubblicato da Le Scienze in occasione del quarantennale
della rivista. Sempre su Le Scienze di Settembre si parla di reti di spin
con vincolo di causalit� e viene accennato al problema che dico a proposito
della struttura metrica dei gruppi infinito dimensionali. Loro sostengono di
risolvere, con il semplice trucco di includere la causalit� in una teoria di
reticolo quantistica pseudo-euclidea, un annoso problema dovuto alla
instabilit� dello stato di vuoto 3+1 dimensionale. Ma le questioni teoriche
connesse con questa scoperta numerica sono tutt'altro che compiutamente
esplorate: allora ritengo, da dilettante allo sbaraglio, che un progresso
significativo potrebbe discendere dall'approfondimento delle estensioni
centrali che risale al matematico Ovsienko, in relazione con lo studio dei
complessi simpliciali infinito dimensionali. Quello che mi ha colpito � in
particolare che in entrambi i casi: simulazioni numeriche e gruppi infinito
dimensionali con un certo tipo di estensioni centrali emergono dimensioni
spettrali reali che si esplicitano in densit� tensoriali ad indice reale nel
caso del gruppo dei diffeomeomorfismi del cerchio e come principi
variazionali finsleriani anzich� riemanniani.
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Received on Mon Sep 08 2008 - 19:51:41 CEST