Re: Cilindo e piano inclinato.

From: Giorgio Bibbiani <giorgio_bibbianiTOGLI_at_virgilio.it.invalid>
Date: Thu, 31 Jul 2008 08:45:14 +0200

"Pino" ha scritto:
> Classico problema di un cilindro che rotola senza strisciare (attrito
> volvente trascurabile) su un piano inclinato. Complicazione
> aggiuntiva: il piano inclinato a sua volta poggia su una superficie
> piana su cui pu� muoversi liberamente senza attrito (in senso
> orizzontale, in senso verticale � ovviamente vincolato).
> La domanda classica � quella di trovare l'accelerazione del piano
> inclinato. L'esercizio si risolve correttamente applicando, nel SR
> solidale al piano inclinato, la forza apparente (non inerziale) data
> da -mc A, dove mc (� la massa del cilindro e A � l'accelerazione
> incognita del piano inclinato).

"forza apparente" e "forza inerziale" sono sinonimi.

> La risposta corretta prevede che tale forza debba applicarsi nel CM
> del cilindro, anzich� nella retta geometrica di contatto tra cilindro
> e piano.
> La risposta che fornisco � che la forza apparente agisce su tutti i
> punti del cilindro (aventi massa dm) essendo causata dalla sua
> "inerzia" rispetto al SR solidale col piano inclinato e che quindi il
> suo effetto � equivalente all'applicazione sul CM.
> Vorrei tuttavia approfondire con voi questa questione che immagino
> possa indurre ad errori tipici.

La forza inerziale e' distribuita su tutto il cilindro, su un elemento
infinitesimo del cilindro di massa dm agisce una forza inerziale
infinitesima dF = -dm * A. Per dimostrare che l'effetto di questa
forza distribuita e' equivalente a quello di una sola forza:
F = Integrale[dF, sul cilindro] = Integrale[-dm * A, sul cilindro] =
-mc * A,
applicata al centro di massa del cilindro basta dimostrare che
1) la risultante (cioe' la somma vettoriale) delle forze dF e' uguale a F
2) il momento risultante delle forze dF rispetto a un polo qualsiasi
e' uguale al momento di F rispetto allo stesso polo.

Dimostrazione:
1) Per definizione di risultante si ha che
F = Integrale[dF, sul cilindro] = -mc * A
e' appunto la risultante delle forze dF.
2) Sia O una origine arbitraria rispetto a cui calcolare i momenti,
e sia r il raggio vettore rispetto al polo O dell'elemento infinitesimo
del cilindro avente massa dm, allora il momento risultante delle
forze dF rispetto al polo O e' (x = prodotto vettore,
R_CM = raggio vettore del centro di massa del cilindro rispetto a O):
M = Integrale[r x dF, sul cilindro] = - Integrale[r x A dm, sul cilindro]
= - Integrale[r dm, sul cilindro] x A = - mc * R_CM x A = R_CM x F,
che e' il momento di F, supposta applicata al centro di massa del cilindro,
rispetto a O.
CVD

Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
Received on Thu Jul 31 2008 - 08:45:14 CEST

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