Re: Diagonalizzazione in spazi di Minkowsky

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Thu, 10 Jul 2008 06:10:13 -0700 (PDT)

On Jul 7, 11:50 am, Imago Mortis <meccanica.quantost..._at_gmail.com>
wrote:
> Ammirati Colleghi
>
> La teoria della diagonalizzazione ortogonale,
> d'suo svolta nei corsi di geometria, sul campo
> reale presenta risultati che sono
> criticamente dipendenti dalla natura definita
> positiva del prodotto scalare euclideo, o puo'
> essere estesa anche agli spazi di Minkowsky ?
>
> Grazie, saluti saluti, saluti.
>
> Imago Mortis

Non ho proprio tempo, ma attento che non si tratta di diagonalizzare
matrici simmetriche (operatori), ma forme quadratiche! Nel caso di R^n
dotato del solito prodotto scalare definito positivo, le formule sono
le stesse perche' l'inversa di una matrice ortogonale coincide con la
sua trasposta, ma altrimenti si tratta di due procedure ben
distinte... ed e' anche improprio parlare di autovalori...
Preso uno spazio vettoriale reale V di dimensione finita,
un prodotto scalare reale (indefinito) su V e' un'applicazione
bilineare < , > : V x V -> R simmetrica, non degenere (cioe' <x,y>=0
per ogni x se e solo se y=0).
Se ora fissi una base in V, il prodotto < , > risulta essere
individuato da una matrice simmetrica a determinante non nullo, E,
rispetto a quella base

<x,y> = somma su i e j E_{ij} x^i y^j

Ora la diagonalizzazione di < , > e' una procedura che determina una
base di V in cui
< , > e' definito da una matrice d che sia diagonale e che abbia sulla
diagonale principale
solo i numeri 1 e/o -1. In componenti, si tratta di determinare una
matrice non singolare D
tale che

D E D^t = d

Nota che, DIFFERENTEMENTE dalla teoria per gli operatori, la matrice D
appare trasposta e non inversa a destra di E. (diagonalizzare
operatori significa fare in modo che
D E D^{-1} sia diagonale). Unlteriormente D E D^t non solo e'
diagonale,
ma sulla diagonale principale ci sono solo 1 e/o -1. Il teorema di
Sylvester assicura che comunque si trovi la matrice D che fa il
servizio detto, il numero di occorrenze di 1 e di -1 NON dipende da D
e dalla matricie iniziale E che rappresenta < , >, ma solo da < , >
stesso: questa e' la cosiddetta segnatura di < , >.

Devo chiudere, ciao, Valter
Received on Thu Jul 10 2008 - 15:10:13 CEST