Re: sfera di Riemann

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Thu, 12 Jun 2008 21:13:01 +0200

ileana ha scritto:
> Salve. Sono uno studente di scuola superiore e sto preparando la
> tesina per l'esame di stato e non ho capito che collegamento c'� tra
> la sfera di riemann e il fatto che 1/0= infinito.
Ma sei Fabrizio oppure Ileana? :-)

La mia prima reazione e' stata: ma perche' non pone questa domanda in
it.scienza.matematica? che c'entra la fisica?
La seconda e' stata di capire la domanda, ma poi ho avuto un'idea:
wikipedia.
E li' ho trovato l'origine della tua domanda :)
Cosi' ora so a che cosa dovrei rispondere.

Per prima cosa, mi domando se hai capito da dove spunta quella sfera.
Mi pare che in wikipedia non si faccia cenno alla proiezione
stereografica...
Ora cerco di spegare, senza figura, il che e' un problema.

Immagina una sfera, il piano tangente in un suo punto O, e il punto ad
esso diametralmente opposto, Q.
Puoi stabilire una corrispondenza tra i punti della sfera e quelli del
piano al modo seguente: a ogni punto A del piano fai corrispondere il
(secondo) punto A' della sfera dove la retta QA interseca la sfera
stessa.
Come vedi, in questo modo ogni punto del piano produce un punto della
sfera, e viceversa ogni punto della sfera _distinto da Q_ proviene da
un punto del piano.
Dunque il piano e' posto in corrispondenza biunivoca (bigettiva) con
la sfera privata di un solo punto: Q.

Ma si vede anche che se consideri sul piano punti A sempre piu'
lontani da O, i corrispondenti A' si avvicinano a Q, per cui si puo'
dire che Q corrisponde a un unico _punto all'infinito_ del piano.
Nel gergo dei matematici, si e' cosi' realizzata una
"compattificazione" del piano euclideo. Ma questo e' soltanto gergo,
non ti preoccupare della parola e del significato che le si puo'
dare...

Debbo anche avvisarti che esiste un altro modo d'introdurre punti
all'infinito del piano, creando il cosiddetto "piano proiettivo": in
questo modo pero' i punti all'infinito sono ... infiniti (di numero,
intendo: uno per ogni direzione).
Ho voluto dirlo per farti capire che quel punto all'infinito che si
produce con la sfera di Riemann e' *una* possibilita', ma non
l'unica...

E ora la questione 1/0 = infinito...
Onestamente non mi piace, non credo che nessun matematico approverebbe
questo disinvolto modo di esprimersi.
Si potrebbe dargli un senso, ma occorrerebbe un discorso un po' lungo
e delicato (ha a che fare con l'allusione che wikipedia fa al "piano
proiettivo") ma ti consiglierei di lasciar perdere.

Anche spiegare a che serve questa sfera di Riemann non e' semplice. Su
wikipedia c'e' qualcosa, ma dubito che ci avrai capito gran che, visto
che e' indispensabile conoscere i numeri complessi e lavorare con le
funzioni di variabile complessa...

Mi fermo qui, ma non so se ti sono stato utile o se ho accresciuto la
confusione :)
    

-- 
Elio Fabri
Received on Thu Jun 12 2008 - 21:13:01 CEST

This archive was generated by hypermail 2.3.0 : Thu Nov 21 2024 - 05:10:08 CET