Il 21 Apr 2008, 12:03, no_spam_at_no_spam.it (Aleph) ha scritto:
> Tetis ha scritto:
Quello che mi attribuisce il tuo quoting � parola tua:
Aleph ha scritto:
> Le espressioni che ho scritto in precedenza contenevano qualche errore,
> provo a riscriverle.
>
> La prima che mi fornisce (implicitamente) il tempo dt necessario al
> passaggio della frazione eps ( 0 < eps < 1 ; nel nostro caso � eps = 0,1)
> nella parte inizialmente vuota del recipiente � la seguente:
>
> eps = INT[0,1]dl[INT[vmin(l,dt), infinito](f(v)*dv)] (1)
>
> dove:
>
> l = x/xo con xo lato del recipente (nel nostro caso 10 cm);
E' questo il punto essenziale, come ti dicevo un cambiamento
di variabile basta a tradurre questo ragionamento in quello che
facevo io, a meno di una differenza che � da ritenere inessenziale
in virt� della rapida decrescenza della funzione gaussiana. Per essere
precisi tu dovresti togliere i contributi che vengono da quelle velocit�
per le quali dopo il tempo dt la particella si trova nuovamente nell'area
sinistra, ed io dovrei modificare l'integrale per i valori di v maggiori di
x0/dt. Tuttavia se nella tua espressione limiti l'integrale in v al valore
x0/dt l'integrale che scrivi tu e quello che scrivo io coincidono.
In particolare io stimavo il tempo dt utilizzando l'integrale seguente:
eps = Int 0^oo [(v dt/x0) f(v)] dv
con il che tendo a sottostimare il dt necessario per valori di
ma posso sovrastimarlo andando a porre il limite superiore x0/dt.
(in quel caso l'incognita entra nell'estremo d'integrazione oltrech�
a fattore). L'integrale che scrivi tu a sua volta sottistima il dt, ma
lo sovrastima se poni il limite superiore. Quello che io sostengo
� che le sovrastime del dt che otterresti tu e quella che otterrei io
sono identiche:
Cambiando l'ordine di integrazione nell'integrale:
INT[0,1]dl[INT[vmin(l,dt), x0/dt](f(v)*dv)]
si ottiene l'integrale:
Int 0 ^(x0/dt) f(v) [ Int_l(v,dt)^1 dl] dv
Dove l'argomento interno pu� essere ricondotto ad
(1 - l(v,dt)) = v dt / x0 essendo l(v, dt) = 1 - v dt / x0 la
funzione inversa di v_min (l ,dt). Puoi inoltre ottenere
lo stesso integrale di prima estendendo ad infinito
il limite di integrazione in v e ponendo l(v,dt) = 0 per
v > x0/t.
Avendo dato questa forma all'integrale si pu� ottenere
una sua sovrastima con l'integrale che scrivevo io.
eps = < |v| > dt / x0. Riconoscendo in particolare
che l'errore � fornito da Int _ x0/dt ^ oo f(v) dv per
stimare questo errore occorre ricorrere ad una stima,
possibilmente per eccesso, di dt, quando eps = 10%.
Quello che io sostengo � x0/dt �, per eps = 10%, superiore
a 2 deviazioni standard della distribuzione di Maxwell.
Se infatti ipotizzo che la velocit� delle particelle non superi
la velocit� media ottengo certamente una stima per eccesso
del dt. In particolare se arrozzo la parte della gaussiana che
sta entro sqrt(<v^2>)/2 con una distribuzione rettangolare
trovo che x0/t � 10/4 deviazioni standard. Man mano che
esp aumenta, tuttavia, le correzioni all'energia cinetica diventano
pi� significative. come anche il flusso risulta leggermente
rallentato rispetto al regime lineare. Ma per eps = 10% l'approssimazione
� davvero eccellente.
> ...
> > > Non so quanto viene poich� non ho svolto esplicitamente i calcoli, ma
> > > considerando il taglio esponenziale piuttosto violento che compare
nella
> > > f(v) il risultato che hai fornito mi sembra esagerato.
Al contrario � proprio perch� la gassiana � rapidamente decrescente
che l'approssimazione che propongo � ragionevole.
> > Ho ricontrollato e mi sembra del tutto ragionevole.
> > Dir� di pi�: se il setto anzich� essere ricollocato nella
> > posizione originale fosse ricollocato pi� in l� le
> > temperatura sarebbero via via pi� elevate e la stima
> > della temperatura richiederebbe il calcolo esplicito di
> > integrali gaussiani incompleti, che in questo caso
> > particolare, per�, pu� essere evitato.
>
> E' questo il punto che non mi convince.
> Nelle formule che ho scritto sopra il risultato contiene appunto integrali
> gaussiani incompleti e a priori non mi sembra che si possa approssimarli
> estendendo il limite inferiore d'integrazione.
Intuitivamente quello che si verifica � che il fattore v che aggiungo
alla distribuzione per tener conto del volume di pescaggio relavito
alla data velocit� oltre che rendere integrabile elementarmente la
distribuzione, per piccole velocit� deprime la distribuzione riproducendo
esattamente quello che fanno gli integrali incompleti che scrivi tu,
con il loro estremo di integrazione inferiore che cresce linearmente
se si percorre l'intervallo da l = 1 (dove v_min(l, dt) = 0) all'ingi�.
> Del resto il calcolo numerico esatto (almeno per chi possiede software
> come Mathematica o consimili) non dovrebbe essere troppo complicato da
> eseguire.
>
> Quando ho un minuto voglio provare a calcolare l'espressione semplificata
> della (2') (quella con l'integrale semplice) con Excel, ma dubito che
> otterr� un risultato preciso.
>
> Saluti,
> Aleph
>
>
>
>
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Received on Fri Apr 25 2008 - 02:45:18 CEST