"Tetis" ha scritto:
> Propongo una variante ideale dell'esperimento di Joule Thomson. In una
> scatola
> composta da due contenitori cubici da 1 decimetro di lato ciascuno,
> separati
> da un
> setto, un gas occupa una met�. Il setto viene rimosso per un tempo
> brevissimo e quindi
> ricollocato. Il cammino libero medio � di qualche chilometro (ad esempio
> 10^14 molecole)
> in modo che gli urti durante la rimozione del setto siano trascurabili. Si
> sa che dopo
> che il setto � stato ricollocato una frazione pari ad un decimo del gas
> inizialmente
> presente in uno dei due contenitori � passato all'altro. Che temperature
> nei
> due
> contenitori dopo il riequilibrio, assumendo pareti e setto isolanti?
Non ho tempo di fare i calcoli espliciti, do solo una traccia della
soluzione (secondo me naturalmente :-).
Questo apparato e' sostanzialmente un selettore di velocita',
che favorisce la fuoriuscita delle molecole piu' veloci, quindi
chiamando 1 il contenitore in cui e' contenuto inizialmente il
gas e 2 l'altro, alla fine, dopo il riequilibrio, si avra' T2 > T1.
Per le ipotesi fatte, suppongo che le molecole urtino
elasticamente le pareti dei contenitori, e non interagiscano
tra loro. Se il setto giace nel piano y-z, allora
verranno influenzate solo le distribuzioni delle
componenti x delle velocita' delle molecole,
chiamando v il modulo della componente x della velocita',
se n1(v, t) e n2(v, t) sono le distribuzioni al tempo t dei moduli
delle componenti x delle velocita' delle molecole contenute
nei due recipienti, allora valgono le condizioni:
(1) n1(v, 0) = NMB(v), n2(v, 0) = 0,
(2) n1(v, t) + n2(v, t) = NMB(v),
ove NMB(v) e' la distribuzione di Maxwell-Boltzmann per
il modulo della componente x della velocita'
del gas nel recipiente 1 alla temperatura iniziale T
(normalizzata al numero totale di molecole N).
Il numero di molecole aventi velocita' in un intervallo
dv intorno a v che passano da un recipiente all'altro
in un tempo infinitesimo dt e' direttamente proporzionale
al valore di v e al valore di n(v, t), quindi
vale l'equazione differenziale:
(3) dn2(v, t) / dt = - k * v * (n2(v, t) - n1(v, t)),
ove k e' una costante opportuna che dipende dalla geometria
dell'apparato, sostituendo la (2) nella (3) si ha:
(4) dn2(v, t) / dt = - k * v * (2 * n2(v, t) - NMB(v)),
che ha soluzione, per la data condizione iniziale:
(5) n2(v, t) = NMB(v) * [1 - exp(- 2 * k * v * t)] / 2
imponendo la condizione che al tempo t1 nel recipiente
2 sia passato il 10 % delle molecole:
(6) Integrale[n2(v, t1) dv, da 0 a +oo] = 0.1 * N,
si ricava il valore di k * t1 corrispondente, e si sostituisce
nella (5) per trovare la forma esplicita della distribuzione
nel recipiente 2 della componente x della velocita' al
tempo t1, quindi si sostituisce questa distribuzione
nella formula per il calcolo dell'energia totale delle
molecole, aventi massa m, nel recipiente 2
(k_B = costante di Boltzmann):
E = N / 10 * k_B * T +
Integrale[1/2 * m * v^2 * n2(v, t) dv, da 0 a +oo],
e si impone che all'equilibrio valga:
E = 3/2 * N / 10 * k_B * T2.
La differenza con l'esperienza di Joule sta nel fatto che
in quel caso le molecole che passano nel recipiente
2 sono termalizzate dagli urti con le altre molecole.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Mon Apr 14 2008 - 10:50:23 CEST