Re: Per fisici matematici: spazio vettoriale tangente ad una varieta'

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Fri, 7 Mar 2008 02:09:08 -0800 (PST)

On Mar 5, 10:00 am, Scarabeo <lapllapazzachestrumpalla..._at_yahoo.com>
wrote:
> La
> definizione con gli operatori differenziali mi sembra che semplifichi
> lo sviluppo della teoria, mentre quella con classe di equivalenza di
> curve si presta meglio a concretizzare i vettori. Ho capito bene?

Si, per uno che viene dalla geometria standard (quella analitica,
quella degli
elementi di Euclide), credo sia vero quello che dici.

> Insomma, se uno mi dice "Tieni questo insieme M, i punti sono questi,
> sono fatti cosi, sono delle "iperbanane"". Io mi faccio bene i conti e
> vedo che l'insieme delle iperbanane ha la struttura di una varieta'
> differenziale. Ma quali sono i vettori tangenti ad un "iperbanana"?
> Bene, prendo una curva di iperbanane (il problema che sto cercando di
> risolvere mi fara' capire che cosa sono le curve di iperbananane, mi
> dara' cioe' anche il loro "senso" intuitivo etc). Poi mi calcolo le
> derivate direzionali e le classi di equivalenza. Adesso posso tirare
> un sospiro di sollievo: ho studiato la geometria differenziale, so che
> sono di fronte ad uno spazio vettoriale (ancora una volta la
> situazione concreta, il problema che sto affrontando etc mi guidera'
> nel capire che cosa sono questi vettori in senso concreto, intuitivo
> etc). Insomma, e' la natura dei punti della manifold , la loro
> "l'iperbananita'" che mi guida ad una interpretazione "intuitiva"
> delle varie costruzioni matematiche.
>

Ciao, si secondo me e' come dici, e' la situazione concreta che ti
aiutera' a capire cosa sono questi vettori in senso concreto. Pero'
dipende anche molto dal tipo di strutture matematiche con le quali uno
e' abituato a trattare.

A mio parere bisogna separare le due cose: avere le definizioni
astratte da una parte, ed il sacco degli esempi concreti nell'altra
mano (esempi che dipendono sia dall'esperienza, sia dai fini per i
quali uno studia la geometria differenziale: il topologo algebrico ed
il fisico matematica/teorico avranno esempi familari molto diversi).
Non e' facile, e solo un bel po' di esperienza consente di operare con
equilibrio tra i due. Comunque il fatto di avere anche il punto di
vista astratto aiuta molto a vedere strutture vecchie in posti
inaspettati di settori nuovi. Alcune idee della geometria non
commutativa sono esempi eclatanti di cio'.


> Sto dicendo sciocchezze (a parte l'iperbananita', siate clementi...)??
> Grazie.
> Scarabeo


> PS: sono solo io a far fatica??

All'inizio e' faticoso usare idee e strumenti astratti nuovi. Per
esempio io feci molta fatica quando studiai la la meccanica
quantistica la prima volta, ad entrare nel linguaggio dei vettori di
stato, ma anche perche' usavano un formalismo abbastanza pericoloso,
per i fraintendimenti che puo' generare, come la notazione di Dirac.
Con un po' di esperienza, buttato via tutto il ciarpame inutile, le
cose diventarono chiare.

> Ho chiesto a diversi fisici che
> pubblicano etc e alcuni mi hanno confessato che o non usano questi
> strumenti (cioe' usano la loro forma tensoriale classica) oppure non
> li usano proprio oppure li usano in modo automatico perche'
> "funzionano".

Secondo me e' sicuramente una questione di pigrizia giustificata,
costa sempre un po' fare un salto di livello, specie se uno sta gia'
lavorando su altre cose. Probabilmente alle persone alle quali hai
chiesto queste idee le hanno insegnate in modo piu' "antiquato" (a me
le hanno insegnate in tutti i modi possibili e poi ci ho messo del mio
per lisciare ancora un po' il formalismo) e a loro e' sufficiente per
quello di cui si occupano.
Nel mio campo di ricerca (teorie di campo quantistiche relativistiche
in spaziotempo curvo) questo genere di formalismi sono meno del
livello zero, ma e' solo questione di abitudine.


Ciao, Valter
Received on Fri Mar 07 2008 - 11:09:08 CET