Il 07 Gen 2008, 13:01, argo <brandobellazzini_at_supereva.it> ha scritto:
> On 5 Gen, 18:34, lje..._at_yahoo.it (Tetis) wrote:
> > Il 04 Gen 2008, 18:20, argo <brandobellazz..._at_supereva.it> ha scritto:
> >
> > > Sono interessato alle rappresentazioni di SU(2)xU(1).
> > > Sono date dal prodotto tensore delle rappresentazioni di SU(2)
> > > (che si possono classificare tramite lo ''spin'' j con j semintero o
> > > intero) e quelle di U(1) della forma exp[iaY] dove a e' reale in
> > > [0,2pi) e Y e' il generatore di u(1).
> >
> ecco, riflettendo un po' forse ho capito: affinche (y,j) sia una
> rappresentazione anche di
> U(2) dovro' richiedere che nel suo kernel sia conteuto il kernel
> dell'omomorfismo che manda
> SU(2)x(1) in U(2). Quindi, siccome exp[i\pi s_3]=-I
> e dunque exp[i\pi s_3]*exp[i0 y]=exp[i0s_3]*exp[i(\pi/y) y], dovro'
> avere che la rappresentazione (y,j) e' tale che
> manda l'elemnto del gruppo di coordinate (0,0,\pi)(0) nello stesso in
> cui manda manda l'elemnto di coordinate (0,0,0)(\pi/y).
> Questo comporta che
> (-1)^(2j+y)=1.
> ovvero che j ed y non sono indipendenti.
> Ho capito bene?
In buona parte. L'unica cosa che manca, se posso permettermi
� l'intuizione geometrica della situazione. La questione � che
una rappresentazione del gruppo di lie � qualcosa di pi�, risolve un
problema geometrico molto importante: quello di ricostruire la
geometria globale dalla geometria locale, in particolare ad ogni
rappresentazione di SU(2), corrisponde un particolare twist della
sfera di Hopf. S^3 pu� essere pensato come S^2 x U(1), localmente,
il problema � che S^2 x U(1) non � semplicemente connesso, estendendo
questa mappa di S^3 su S^2 il meglio che si pu� fare � di partire da due
punti distinti fino ad ottenere due fasci di spighe incompatibili lungo un
cerchio
meridiano (meglio equatoriale) di S^2 che divide i due punti.
Lungi dall'essere una contraddizione questo significa solamente
che non si pu� costuire un campo di cerchi su S^2, d'altra parte un campo
vettoriale
su S^2 deve avere almeno un punto critico, tutto dipende dalla
caratteristica di
Eulero di S^3. Questa ostruzione � alla base della costruzione di Dirac
con riferimento a campi di Yang- Mills con gruppo di simmetria SU(2).
Dirac, in luogo di rinunciare a costruire una uno forma per la forma di
curvatura, associa una 1 forma, ma conclude che deve essere singolare
lungo una stringa associata alla sorgente di curvatura.
Ora il problema �: in quanti modi due fasci di spighe sulle emisfere S^2
possono risultare incompatili lungo un meridiano in modo da ritenere una
mappa
localmente fedele di S^3? Questi sono tanti quanti sono
i possibili numeri di winding lungo la linea equatoriale e corrispondono
all'indice
relativo fra lo spin del campo nell'emisfero boreale rispetto all'indice di
spin
nell'emisfero australe, ma corrispondono a null'altro che al gruppo di
omotopia
di S^1. Ed il gruppo fondamentale di S^1 � Z. Infatti 2j pu� variare lungo
Z.
Quindi le strutture di Hopf twisted per SU(2) sono contate esattamente
dal gruppo fondamentale di S(1). Nel caso di U(2) per� oltre al
problema che si ha nel caso di U(2) c'� un'altro problema,
infatti per U(2) la mappa di Hopf � su una superficie di Klein
anzich� su una sfera, ovvero, in altre parole, proietta sulla sfera
proiettiva
anzich� sulla sfera e solo dopo una prima proiezione su SU(2).
Il gruppo fondamentale dice allora che gli
indici relativi possono variare anzich� lungo Z che sarebbe il
gruppo di omotopia di S^1, lungo il gruppo fondamentale di
S^1/Z_2 che sarebbe Z/Z2 ovvero lungo i numeri pari.
Sono questi gruppi che classificano i tipi di cariche,
ovvero le singolarit� topologiche delle strutture di connessione
di gauge del campo, per quanto riguarda le singolarit� nella
gauge abeliana. Un ruolo importante � giocato in questo
caso, a parere di Van't Hoft, dal centro del gruppo. Siccome
U(2) ha centro Z_2 ne segue la regola di selezione che riportavi.
L'ipotesi tacita di Van't Hoft � che il gruppo considerato
sia associato con una fibrazione di Hopf. Una congettura di
Van't Hoft � che un gruppo di gauge d� luogo a soluzioni di vortice
se il centro del gruppo � non banale. Ad esempio SU(3) ha centro
Z_3 e quindi SU(3) darebbe luogo a soluzioni di vortice che sono
note dalla cromodinamica quantistica, e sperimentalmente dal
fatto che esistono gli adroni, come strutture di confinamento del
campo: le stringhe di colore e possono coinvolgere tre o due numeri
quantici (SU(3) ammette SU(2) di isospin come sottoinsieme). In verit� il
meccanismo potrebbe essere pi� complesso, per via del fatto che
le fibrazioni di Hopf possono essere generalizzate. Ad esempio
E8 � associato ad un fibrato di Hopf non banale, quindi non � detto
che le strutture di vortice si abbiano solo per gruppi di gauge
con centro non triviale.
> grazie e ciao
Prego :-)
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Received on Tue Jan 08 2008 - 20:08:46 CET