Il 16 Dic 2007, 20:01, Eugenio Bianchi <eugenio.bianchi_at_gmail.com> ha
scritto:
> Ciao argo,
>
> ne approfitto per lasciare un commento mentre sono bloccato in
> aeroporto a Eindhoven (OT: seguiranno altri commenti nel caso il
> ritardo si prolunga a tutta la notte..)
>
> > Se perturbassi invece intorno ad un'altra soluzione classica
> > dell'equzione del moto?
> direi che, se tutto va bene, avrai la teoria di campo perturbativa
> intorno a quella specifica soluzione classica. Il nome giusto per
> questa cosa sarebbe approssimazione semiclassica.
> dico ''se tutto va bene'' per piu' di un motivo:
>
> - in generale avresti che, anche se restringi l'attenzione solo al
> termine libero nella Lagrangiana perturbativa (e trascuri
> l'interazione), in generale questo termine dipende dalla posizione e
> dal tempo come fai notare tu sopra. Quindi questa teoria quantistica
> e' difficile da gestire tanto quanto una teoria di campo libera su
> spazio curvo privo di killing temporali.
Ed in effetti mi sembra che un nesso fra i modi di gestire le due situazioni
si possa ritrovare. Tempo addietro abbiamo discusso a lungo un semplice
esercizio, forse proposto da argo(?), si trattava della teoria delle
perturbazioni
di un oscillatore armonico in cui il centro e la costante di forza del
potenziale
possono dipendere dal tempo. C'� un esercizio caratteristico svolto in due
modi differenti sul Merzbach e sul Bohm. Quest'ultimo richiamandosi ad una
elaborazione delle tecniche sviluppate da Feynman da parte della scuola
giapponese ricorre alla trattazione in termini di stati coerenti, che
semplifica
abbastanza la trattazione. La teoria di Bergmann Segal e le ondine in QFT
su supporto curvo nascono essenzialmente da queste tecniche di Feynman
e Husimi. La questione, in relativit�, ha per� un rilievo che va oltre il
semplice
aspetto tecnico, se Einstein risolveva la questione con una scelta ben
precisa
di background nei suoi modelli cosmologici, la trattazione di onde ha
portato
ad un fiorire di definizioni di tensori energia-impulso quasi locali con un
significativo ripensamento della cosmologia. Queste grandezze quasi locali
sono reminescenti degli stati coerenti della teoria delle perturbazioni
classica,
ma pongono problemi molto pi� profondi che rievocano anche la questione del
"paradosso" di Schroedinger della m.q. cio�: se la scelta delle coordinate
locali
cambia la struttura apparente dello spazio tempo (basta pensare al
riferimento
di Rindler) � evidente che una differente evoluzione dell'apparato di misura
porter� ad una differente struttura dello spazio tempo misurato. Per una
trattazione tecnica delle variabili quasi-locali puoi riferirti alla
rassegna:
http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2004-4/
mentre per le relazioni fra il principio di covarianza generale e
l'interpretazione
statistica della meccanica quantistica, del paradosso EPR puoi rifarti
agli studi di Finkelstein.
> - ci sono soluzioni classiche che devi proprio escludere!! sono
> quelle che oscillano troppo, nello spazio o nel tempo. Se provi a
> quantizzare le fluttuazioni intorno a queste soluzioni, trovi che la
> teoria quantistica non e' nel suo regime perturbativo.
Per� questa � una mezza-imprecisione, in realt� � possibile, ed anzi
necessario includere le correzioni ultraviolette ed una interazione
fra ultravioletto ed infrarosso, ed � proprio questo il motivo per il
quale in relativit� generale si parla tanto di sistemi quasi locali di
variabili, di variabili di Ashtekar, ed in teoria quantistica dei campi
si parla di teoria della rinormalizzazione di equilibrio e di non
equilibrio,
come di due tool differenti: se la prima cancella esattamente le divergenze
infrarosse nelle teorie di gauge, la seconda non permette di separare la
trattazione delle divergenze infrarosse dalla trattazione delle divergenze
ultraviolette. Questo � dovuto ad un semplicissimo fenomeno associato
alla non linearit� che possiamo esemplificare nel caso delle funzioni
trigonometriche nella identit�:
cos(om1 t ) cos(om2 t) = 1/2 (cos((om1 + om2)t)+cos((om1-om2)t))
nel caso che om1 = om2 si parla semplicemente del fenomeno di
duplicazione delle frequenze. Con tutto quel che ne deriva iterando
il procedimento. In particolare � facile vedere che una teoria non lineare
difficilmente manterr� a lungo le condizioni di regolarit�, per questa
ragione uno sviluppo naturale della teoria dei campi quantistici sono
i campi aleatori distribuzionali, ed a questi converge anche la trattazione
classica. E' importante sottolineare che dal punto di vista di una teoria
delle perturbazioni per quanto si abbia una dipendenza virtuosa dal
parametro di accoppiamento, nel senso che ad esempio i termini
cos(om1 t) cos(om2 t) hanno una dipendenza lambda^2, tuttavia
si verifica anche che a denominatore compaiono termini di tipo
(om1 - om2) che nel caso degenere sono particolarmente importanti.
E' anche questo fenomeno gerarchico nelle frequenze il motivo per il
quale in dinamica classica dei sistemi non lineari si � prestata
molta attenzione alle tecniche di rinormalizzazione per la costruzione
di soluzioni quasi-periodiche nel teorema KAM, tecniche che di fatto
implementano le correzioni ultraviolette anche se non si chiamano a
questo modo e costituiscono l'ossatura del teorema KAM. Nelle teorie
di campo quantistico non lineari si parte con un piede pi� in l� e questa
problematica � apparentemente rimossa, si comincia proprio imponendo
condizioni di integrabilit�, magari con la scelta di una teoria infrarossa
completamente integrabile e poi si trattano le perturbazioni.
Questo
> equivale, in meccanica quantistica elementare con particella in campo
> attrattivo coulombiano), a quantizzare la perturbazione intorno a
> un'orbita ellittica che ha semiasse-minore dell'ordine del raggio di
> Bohr. Capito l'argomento, uno sa anche stimare che vuol dire
> ''oscillano troppo''
Su questa analogia mi fido, ma ho delle perplessit�, probabilmente
parliamo di questioni differenti, ma direi che le soluzioni rapidamente
variabili siano essenziali alla dinamica, semmai possono essere
mediate, il che, magari, in un'approccio pi� sbrigativo potrebbe
corrispondere,
a meno di fasi di Berry ed Hannay, a non prenderle affatto in
considerazione.
> > Avrei che i coeffienti nell'azione delle
> > oscillazioni dipenderebbero dalla posizione e dal tempo. Sarebbe come
> > avere un campo esterno?
> si', in particolare se quantizzi intorno a phi0=cost+f(x,t), con |
> f(x,t)|/cost<<1. Tuttavia si tratterebbe di un campo esterno che
> accoppia a termini tipo _at_phi @phi.
Questo essenzialmente deriva dall'ipotesi gaussiana
sulle funzioni di correlazione e rende ragione del successo
della teoria degli stati coerenti. In termini pratici si tiene conto
di questo nello sviluppo del potenziale d'azione, ma gi� a priori
nella scelta di un fattore di Boltzmann. Questo � un punto
particolarmente delicato sia delle teorie di campo conforme,
sia degli approcci pi� semplicistici alla teoria di non-equilibrio
della rinormalizzazione.
> > Si otterrebbero risultati ragionevoli (ad
> > esempio nelle ampiezze di scattering)?
>
> questa e' una domanda molto interessante!
>
> in generale per scegliere una soluzione classica intorno a cui
> perturbare devo darne le condizioni iniziali (q0,p0) , o
> equivalentemente q0 al tempo iniziale t0 e q1 al tempo finale t1.
> Fissato l'intervallo T=(t1-t0), questo e' sufficiente (a meno di
> sottigliezze) a fissare la soluzione classica q(t). Credo che lo
> schema corretto sia proprio questo, cioe' in quello che dici non puoi
> davvero scegliere _la_ soluzione classica, ma puoi solo scegliere
> q0,q1 e T. Questi corrisponderebbero ai valori di aspettazione
> dell'operatore q^ sullo stato iniziale e sullo stato finale nella
> teoria non-perturbativa (che non hai).
> Nello scattering pero' sei interessato al caso T->oo. Una cosa che mi
> hanno raccontato (ma non ho mai provato a scrivere i dettagli) e' che
> nel limite T->+oo succede qualcosa di peculiare: le uniche soluzioni
> classiche che contribuiscono sono quelle indipendenti dal tempo. (Il
> motivo credo sia che, ruotando all'euclideo e mandando T a +oo,
> troverei che le uniche soluzioni che non sono soppresse sono quelle di
> energia minima (e non solo di azione estrema), quindi se la soluzione
> e' stazionaria, intanto il termine cinetico e' zero. Poi resta quello
> di potenziale.)
Anche questo � parzialmente inesatto e non vero in generale,
questo vale se le caratteristiche
del sistema sono indipendenti dalle scale di tempo. Per avere idea
di situazioni differenti basta considerare il caso in cui la scala di tempo
non � un parametro di comodo, ma ha una interpretazione fisica, ad esempio:
un sistema abbastanza complesso da avere una gerarchia di tempi di
persistenza. Una ipotesi di fondo della teoria adiabatica che conduce alla
nozione di fase geometrica � che i termini cinetici scalino come l'inverso
del tempo al quadrato.
> Quindi, se capisco bene, almeno nel caso 1+1 dimensionale e per
> potenziale a cappello di messicano resta solo la soluzione classica in
> uno dei due minimi del potenziale e la soluzione di solitone e quello
> che quantizzi e ne studi lo scattering sono le perturbazioni intorno a
> una di queste soluzioni. Sarebbe meglio pero' se a questo punto
> intervenisse qualcuno che queste cose le sa e le spiegasse per bene e
> correggesse gli errori in quello che ho detto...
>
>
>
> Eugenio
>
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http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Mon Dec 17 2007 - 16:12:47 CET