On 22 Nov, 00:29, "Enrico Baronti" <enricodap..._at_libero.it> wrote:
> Salve a tutti, ho un quesito che vorrei sottoporre
>
> Da un'altezza R cade, partendo da fermo, un punto materiale seguendo un
> percorso di 1/4 di circonferenza (P*R/2).
> Dalla stessa altezza R cade un punto materiale su un piano inclinato
> rettilineo lungo anch'esso P*R/2.
> Quale dei due arriva prima?
Se non si vuole risolvere il problema in maniera numerica, come ha
fatto Giorgio Bibbiani, si pu� fare cos�:
Detti
m = massa punto materiale
s = coordinata curvilinea calcolata dal punto di partenza
v = velocit� = ds/dt
R = raggio circonferenza = altezza massima del punto materiale
h(s) = altezza del punto materiale rispetto al punto pi� basso della
curva
E = energia totale = mgR
V = energia potenziale = mgh(s)
si ha:
(1/2)mv^2 = E - V --> v = ds/dt = Rad[2(E - V)/m]
--> dt = ds*Rad[m/2(E - V)] = ds*Rad[1/2g(R - h(s))]
= ds/Rad[2g(R - h(s))]
Adesso confrontiamo h(s) nei due casi:
Pendolo: h(s) = R[1 - sin(s/R)] (questo calcolo si fa facilmente
scrivendo s = R*alfa dove alfa � l'angolo tra il raggio vettore
istantaneo e l'orizzontale)
Piano inclinato: h(s) = R - (2/pi)s (similitudine fra triangoli; pi pigreco)
Risulta che h(s) del pendolo � sempre pi� piccolo di h(s) del piano
inclinato:
R[1 - sin(s/R)] < R - (2/pi)s --> sin(s/R) > (2/pi)s/R
cio� sinx > (2/pi)x 0<x<pi/2
Ma quest'ultima disequazione � proprio vera; basta fare un semplice
grafico delle funzioni sinx e (2/pi)x per vederlo.
Quindi h(s) � minore, nel caso del pendolo, perci� R - h(s) � maggiore
e quindi dt = ds/Rad[2g(R - h(s))] � minore.
In conclusione, il tempo totale impiegato dal punto materiale a
percorrere la traiettoria nel caso del pendolo � minore di quello nel
caso del piano inclinato.
Received on Sat Nov 24 2007 - 21:37:47 CET