Re: Spinori

From: Claudio <c.falorni_at_tiscali.it>
Date: Wed, 1 Aug 2012 08:48:19 +0200

Innanzitutto mi scuso per la notazione LaTeX non proprio precisa.
Le (4) quantit� in questione scritte correttamente sono
 \xi_R^\dagger \sigma^\mu \psi_R

"Elio Fabri" <elio.fabri_at_tiscali.it> ha scritto nel messaggio

>
> In QFT alle trasf. di Lorentz (anzi tutto il gruppo di Poincar�) sono
> associati operatori *unitari* che agiscno sui vettori di stato e sugli
> operatori di campo, nel modo che devi sapere:
>
> U(\Lambda) \psi_R U+(\Lambda) = ...
>
> e analoga per \dagger\x_R.
>
> Invece le \sigma sono *numeri*, che non vengono alterati dalla
> trasformazione.
>
> Non ti garantisco la coerenza della notazione che ho usato con quella
> che avrai visto tu, ma non ho capito che cosa sarebbe \Lambda_R: per me
> esiste solo \Lambda.
>
> --
> Elio Fabri

Nella trattazione che stavo leggendo vengono inizialmente presentati gli
spinori left-handed e right-handed:
le rappresentazioni spinoriali del gruppo di Lorentz possono essere
costruite come le rappresentazioni (1/2 , 0) e (0,1/2) di SU(2)x SU(2)
rispettivamente left-h e right-h.
Uno spinore _L trasforma secondo Lorentz \Lambda_L -> exp ( (-i\theta -
\eta) \vec{\sigma}/2) \Lambda_L
mentre uno R in
\Lambda_R -> exp ( (-i\theta + \eta) \vec{\sigma}/2) \Lambda_R

Ci� deriva dal fatto che l'algebra del gruppo di Lorentz � ottenuta da
combinazioni complesse dei generatori di SU(2).

Comunque al di l� di questo non ero ancora arrivato ai campi e per il
momento credevo di interpretare \psi_R come un vettore nello spazio
vettoriale di dimensione 2 sul corpo complesso, rappresentazione (appunto
spinoriale) di SU(2).
Il testo propone la quantit� in esame e raccomanda di verificare per
esercizio che trattasi di quadrivettore.
Non avrei difficolt� a fare la cosa, almeno l'idea ce la ho: sviluppo in
serie dell'esponenziale, propriet� delle matrici di Pauli (algebra del
momento angolare).
Mi chiedevo il motivo del perch� le 4 matrici di sigma non dovessero essere
in qualche modo trasformate: una probabile risposta forse � perch� sono i
generatori del gruppo e, nella rappresentazione SU(2), hanno ovviamente la
stessa forma.
(Esiste un altro insieme di matrici 2x2 che soddisfa la medesima algebra?)


Claudio
 
Received on Wed Aug 01 2012 - 08:48:19 CEST