"LordBeotian" ha scritto:
> Vorrei dimostrare al liceo che dato un campo vettoriale come quello
> uniforme
> o quello centrale - per cui si � dimostrato che il lavoro tra A e B �
> uguale
> alla differenza di una appropriata energia potenziale - l'energia
> meccanica
> totale si conserva... come posso fare per dimostrarlo senza usare le
> derivate?
Il teorema di conservazione dell'energia meccanica e' una
necessaria conseguenza della definizione di campo
conservativo e del teorema dell'energia cinetica, che enuncio cosi':
"Il lavoro eseguito da tutte le forze che hanno agito su un punto
materiale e' uguale alla variazione della sua energia cinetica".
Scomponendo le forze e gli spostamenti lungo i tre assi cartesiani,
si vede immediatamente che e' sufficiente dimostrare il
teorema dell'energia cinetica nel caso unidimensionale, cioe'
basta dimostrare che:
Integrale[F ds] = 1/2 * M * (v_f^2 - v_i^2),
ove l'integrale e' calcolato lungo il moto reale,
M e' la massa del p.m. e v_f e v_i sono la velocita'
finale e quella iniziale.
Per il 2� principio della dinamica si ha F = M * a = M * dv/dt,
inoltre ds = v * dt, da cui:
Integrale[F ds] = Integrale[M * dv/dt * v dt] =
Integrale[M * v dv] = Integrale[M * 1/2 dv^2] =
1/2 * M * (v_f^2 - v_i^2)
CVD
Quindi nella dimostrazione bisogna utilizzare sia derivate
che integrali.
Nel caso che i tuoi studenti si ricordino le equazioni che
caratterizzano un moto uniformemente accelerato :-),
un'alternativa euristica potrebbe essere quella di scomporre
l'integrale come una somma infinita di termini infinitesimi del
tipo F * ds, per ciascuno dei quali la forza F agente lungo il
cammino infinitesimo ds si possa considerare costante, e
dimostrare il teorema dell'energia cinetica lungo ciascun
cammino infinitesimo:
il moto lungo ciascun cammino infinitesimo e'
uniformemente accelerato, e se s(t) e' la posizione iniziale,
s(t + dt) = s(t) + ds quella finale, v(t) la velocita' iniziale,
v(t + dt) quella finale, si ha:
v(t + dt) = v(t) + a * dt => a = [v(t + dt) - v(t)] / dt,
s(t + dt) = s(t) + v(t) * dt + 1/2 * a * dt^2 =>
ds = s(t + dt) - s(t) = v(t) * dt + 1/2 * a * dt^2,
F * ds = M * a * ds = M * a * [v(t) * dt + 1/2 * a * dt^2] =
M * [v(t + dt) - v(t)] / dt * {v(t) * dt + 1/2 * [v(t + dt) - v(t)] * dt} =
M * [v(t + dt) - v(t)] * {v(t) + 1/2 * [v(t + dt) - v(t)]}=
1/2 * M * [v(t + dt)^2 - v(t)^2]
CVD
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Mon Nov 19 2007 - 18:22:02 CET