Re: Gruppo di Poincare', spazio-tempo curvo, teoria dei campi

From: Eugenio Bianchi <eugenio.bianchi_at_gmail.com>
Date: Wed, 17 Oct 2007 11:07:50 -0700

On 16 Ott, 20:55, Elio Fabri <elio.fa..._at_tiscali.it> wrote:
> ... il raggio di curvatura alla superficie della
> Terra ha l'ordine di grandezza di un'unita' astronomica: molto grande,
> ma non infinito...)
> Dunque nei nostri laboratori lo sp.-tempo e' curvo, anche se
> pochissimo, quindi l'invarianza di Poincare' non sussiste, quindi la
> particelle non esistono...
> Allora che cosa sono quelle cose che studiano gli sperimentali? :-)

come argomento qualitativo, credo ne valga la pena notare che per un
processo di scattering ci sono (almeno) tre scale in gioco: il raggio
di curvatura L_curv, la scala su cui l'esperimento viene fatto L_lab e
l'energia nel centro di massa sqrt(s) del processo di scattering. A
noi interessa il caso in cui L_curv >> L_lab >> (hbar c)/sqrt(s).

Io, ingenuamente, direi che la dipendenza della sezione d'urto da
L_curv e' completamente coperta dalla presenza di L_lab. Quindi come
stima molto rozza dell'effetto di L_curv, io studierei prima un altro
problema molto piu' semplice:

la dipendenza delle sezioni d'urto dal cut-off infrarosso L_lab in una
teoria dei campi definita su uno spaziotempo piatto (ad es. in una
scatola di lato L_lab e su un intervallo di tempo T = L_lab c). In
questo caso sono le condizioni al bordo che rompono l'invarianza di
Poincare'. I conti si possono fare tutti ad es perturbativamente per
un campo scalare con interazione lambda phi^4 e mi aspetto di trovare
qualcosa tipo

(sezione d'urto) ~ lambda/s (1 + const1/( L_lab sqrt(s) ) +... )

cioe' correzioni soppresse come l'inverso di (L_lab sqrt(s)). Per
sqrt(s)~1 MeV, L_lab~1 m e ammettendo che const1 sia dell'ordine di
uno, la correzione viene dell'ordine di 10^-13.

Per quanto estremamente rozzo, questo argomento credo renda bene conto
del fatto che negli esperimenti di alta energia si puo' assumere che
l'invarianza sotto il gruppo di Poincare' sia esatta e tutti i conti
si possono fare impunemente in una teoria di campo definita sullo uno
spaziotempo piatto di Minkowski.

Dal punto di vista piu' teorico formale, invece, credo ci si impara
che avere le particelle definite come rappresentazioni irriducibili
del gruppo di Poincare' non e' vitale per definire un teoria di campo
(mi sembra sia questo l'argomento della discussione). Nel caso della
teoria di campo in una scatola (con condizioni di annullamento al
bordo, ad es), e' possibile calcolare (perturbativamente) ampiezze di
transizione a tempo finito e confrontarle con gli esperimenti. Se
siamo interessati allo scattering di particelle, bisogna prendere
stati nello spazio di Hilbert che descrivono abbastanza bene
particelle a impulso definito. Tutto funziona benissimo e l'invarianza
di Poincare' (che e' rotta dalle condizioni al bordo) non gioca alcun
ruolo. Unica cosa.. fare i conti in questo modo e' voler farsi del
male!! intendo dire che concettualmente e' interessante e corretto, ma
praticamente rende molto piu' lungo qualsiasi calcolo, c'e' una certa
arbitrarieta' nella scelta dello stato che descrive le due particelle
in (e analogamente per out), e quello che si guadagna alla fine sono
solo correzioni dovute al bordo che nel regime che ci interessa sono
soppresse: tanto vale stimarle una volta nella vita e poi
dimenticarsene e fare i conti assumendo che l'invarianza di Poincare'
sia esatta.

L'idea e' che questo argomento si puo' applicare anche al caso in cui
la metrica ha una curvatura costante con raggio di curvatura grande
rispetto alle altre scale in gioco. La storia e' chiaramente diversa
se il regime a cui siamo interessati e' L_curv ~ (hbar c)/sqrt(s) ...


ciao a tutti,

Eugenio
Received on Wed Oct 17 2007 - 20:07:50 CEST