Re: Gruppo di Poincare', spazio-tempo curvo, teoria dei campi

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Wed, 17 Oct 2007 01:02:06 -0700

Scusate � la terza volta che posto lo stesso messaggio, ho qualche
problema con l'editor o altro: vengono sempre fuori delle cose
incomprensibili sul server di goolgle groups. Mi scuso con chi
ricevesse la terza copia di questa risposta.


On 16 Ott, 20:55, Elio Fabri <elio.fa..._at_tiscali.it> wrote:

> D'altra parte lo spazio-tempo in cui viviamo (se cosi' si puo' dire)
> e' indubbiamente curvo, anche se pochissimo: per questo gia' basta la
> presenza della Terra.
> (A titolo di curoisita', il raggio di curvatura alla superficie della
> Terra ha l'ordine di grandezza di un'unita' astronomica: molto grande,
> ma non infinito...)
> Dunque nei nostri laboratori lo sp.-tempo e' curvo, anche se
> pochissimo, quindi l'invarianza di Poincare' non sussiste, quindi la
> particelle non esistono...
> Allora che cosa sono quelle cose che studiano gli sperimentali? :-)

Ciao, credi che non mi faccia questa domanda da almeno 10 anni?
Non sono ancora riuscito a capire come mettere tutto a posto
malgrado qualche interessante risultato che dico sotto.

> Faccio notare che il fatto che la curvatura sia piccola non ci salva:
> che l'invarianza sussista o non e' un fatto qualitativo, non
> quantitativo.
> Oppure si puo' dare un qualche senso a una "invarianza approssimata"?
> Quale potrebbe esserne il significato teorico?
> Si potrebbe in qualche modo recuperare un concetto "approssimato" di
> particella?

Questo � il punto.

> Io la risposta non la so: questa e' una vera domanda.

Negli ultimi 3 anni ho lavorato, insieme a C. Dappiaggi e N.
Pinamonti , che ora stanno al Desy di Hamburg (fuga dei cevelli), su
questo problema nell'approccio che ti dico sotto. Ho anche tenuto un
talk plenario al congresso italiano di GR lo scorso settembre.

La nostra idea era di considerare spazitempo asintoticamente piatti
all'infinito luce. Il nostro universo NON lo � perch� assomiglia di
pi� ad uno spazio di de Sitter a sezione spaziale piatta, vista
l'accelerazione che si vede ancora. Ma noi volevamo cominciare con
qualcosa di "semplice".

Gli spazi asintoticamente piatti all'infinito luce possono essere
curvi quanto vuoi lontani dall'iinfinito luce. In questa classe di
spazitempo c'� ovviamente Minkowski, Schwarzschild e molti altri spazi
a priori plausibili.
L' "infinito luce" � una struttura matematica, comune a tutti questi
spazi, abbastanza complessa: una variet� differenziabile a 3D dotata
di una metrica degenere (la variet� � di tipo luce ) ed un "gruppo di
gauge" che permette riscalamenti della metrica...Non pu� esserci una
vera metrica all'infinito, che non � nello spaziotempo, riscalamenti
della metrica su tale infinito sono infatti ammissibili. La teoria,
fondata da Geroch, Ashteker, Penrose ed altre persone di quel
calibro, la trovi per es sul Wald di RG.

C'� l'analogo del gruppo di Poincar� all'infinito che si chiama gruppo
BMS (Bondi Metzner Sachs).
E' un gruppo di Lie infinito-dimensionale che contiene dentro infinite
copie del gruppo di Poincar� in modo non canonico (non sono
sottogruppi normali o roba simile). Un mostro abbastanza brutto, ma il
fatto che contenga Poncar� era molto interessante a priori.

La nostra idea era di usare tale gruppo per risolvere il problema: le
rappresentazioni unitarie irriducibili da identificare con le
particelle potrebbero quelle del gruppo BMS, e non di Poincar� che non
corrisponde ad una vera simmetria in presenza di gravit�. Il gruppo
BMS invece c'� sempre se lo spazio � curvo, ma asintoticamente piatto
all'infinito luce.

Il gruppo BMS ha operatori di Casimir tra cui uno che generalizza la
massa di Poincar�, ma che � invariante rispetto a tutto il gruppo, non
solo rispetto ai vari Poincar� interni al BMS, ci sono anche Casimir
per lo spine ecc...C. Dappiaggi � l'esperto del nostro gruppo per
queste cose.

Abbiamo scritto diversi lavori su questo, con notevoli risultati, ma
non esaurienti.
Abbiamo cominciato a costruire una "teoria di campo bosonico"
sull'infinito luce (quindi in comune per tutti gli spazi
asintoticamente piatti) usando la presenza di una certa struttura
simplettica alla quale si possono asempre associare rappresentazioni
CCR (C*-algebre di Weyl).
Tutto questo a livello algebrico e molto astratto. Poi abbiamo fatto
vedere che c'�, in tale teoria "astratta", uno stato algebrico (in
senso GNS) che � invariante rispetto a *tutto* il gruppo BMS.
La rappresentazione GNS di questo stato � di Fock e lo "spazio ad una
particella" � una rappresentazione irriducibile del gruppo BMS a massa
BMS nulla.
 Io ho dimostrato successivamente che questo stato � unico sotto
opportune ipotesi di "positivit� dell'energia" (rispetto ad una
nozione di energia che generalizza quella ordinaria riferita a
*qualsiasi* vettore di Killing di tipo tempo in *ogni* spaziotempo
asintoticamente piatto).

Poi dovevamo tornare a toccare la fisica dello spaziotempo smettendo
di fare i matematici puri.
 Abbiamo mostrato che c'� un modo di "indurre" dentro ogni spaziotempo
asintoticamente piatto tutta questa teoria di campo bosonico trovata
all'infinito luce in modo molto formale.

In pratica c'� una vera teoria di Klein-Gordon in ogni spaziotempo
asintoticamente piatto ed una corrispondenza uno-a-uno tra osservabili
di questa teoria ed osservabili della teoria fatta all'infinito luce,
che preserva le struttere algebrice coinvolte (CCR e struttura di C*-
algebra). Questa corrispondenza si estende ad una corrispondenza tra
stati algebrici all'infinito luce e stati algebrici sulle osservabili
di campo nello spaziotempo.

Se ci restringiamo a lavorare con lo spazio di Minkowski, accade che
lo stato privilegiato BMS invariante all'infinito luce � messo in
corrispondenza biunivoca con il vuoto Poincar�-invariante di Minkowski
nello spaziotempo e la rappresentazione unitaria irriducibile del BMS
a massa BMS nulla diventa quella di Poincar�, a massa nulla di
Poincar�.

Poi il nostro gruppo si � disperso (per mancanza di fondi) e ognuno �
andato per la sua strada.
Io sono passato a capire cosa succedeva accendendo la gravit� nello
spaziotempo. Ho mostrato che lo stato privilegiato individuato
sull'infinito luce corrisponde ad uno stato molto particolare per la
teoria di campo all'interno dello spaziotempo asintoticamente piatto
ma curvo.
Si tratta di uno stato che
1) � invariante sotto *tutte* le isometrie dello spaziotempo (quindi
nello spazio ad una particella della sua rappresentazione Fock-GNS c'�
una rappresentazione unitaria di *tutte* le simmetrie dello
spaziotempo!),
2) che ha energia positiva rispetto ad ogni vettore di Killing di
tipo tempo.
3) questo stato soddisfa una condizione, detta di Hadamard, che
assicura che si possa usare lo stato come background per
rinormalizzare nello spaziotempo curvo (per esempio il tensore energia
impulso mediato su questo stato � rinormalizzabile con procedure
standard).

Tutto questo � bellissimo, ma funziona SOLO per massa nulla! (le due
masse in questione sono ora la massa-operatore di Casimir del gruppo
BMS e la massa che appare nell'equazione di Klein-Gordon nello
spaziotempo).

Quindi, se lo spaziotempo � curvo, ma asintoticamente piatto, almeno
nel caso di massa nulla, c'� una nozione di particella alla Wigner che
prescinde completamente dalla curvatura.

C. Dappiaggi, ha recentemente mostrato come, in modo molto complesso,
si possano introdurre particelle massive lavorando all'infinito luce
per� assumendo come background lo spazio di Minkowski.

Ora siamo tutti e tre di nuovo insieme (si fa per dire loro due sono
ad Amburgo
e io a Trento). In seguito ad alcune importanti osservazioni di N.
Pinamonti,
stiamo cercando di riutilizzare tutto il macchinario
costruito in spazi tipo de-Sitter a sezione piatta, che sono pi�
vicini al nostro universo. In tal caso non c'� l'infinito (piatto)
luce, ma ci sono strutture globali interessanti come orizzonti
cosmologici che potrebbero aiutarci...

Le referenze sono

C. Dappiaggi, V. Moretti and N. Pinamonti:
Rigorous Steps towards Holography in Asymptotically Flat Spacetimes
Rev. Math. Phys. 18, 349 (2006)

V. Moretti: Uniqueness theorems for BMS-invariant states of scalar QFT
on the null boundary of asymptotically flat spacetimes and bulk-
boundary observable algebra correspondence
Commun. Math. Phys. 268, 726 (2006).

V. Moretti: Quantum out-states states holographically induced by
asymptotic flatness: Invariance under spacetime symmetries, energy
positivity and Hadamard property.
(gr-qc/0610143)
Commun. Math. Phys. (2007). in print,

C. Dappiaggi: Projecting massive scalar fields to null infinity.
Ann. Henri Poincare' in Print
arXiv:0705.0284 [gr-qc]

Ciao, Valter
Received on Wed Oct 17 2007 - 10:02:06 CEST