Il 12 Set 2007, 22:49, "Giorgio Chiantore" <chiantor_at_tin.it> ha scritto:
> bene, incominciamo dal fondo:
cio� il minimo per capire "scientificamente",
> il che non sar� poco, di questo me ne rendo conto, che la mia
> domanda
> "quanto tempo per partorire un fotone"
> � priva di significato.
Una prima osservazione riguarda il fatto che un atomo
isolato ha livelli discreti. La distanza caratteristica fra i livelli
� legata alle dimensioni dell'atomo. Esercizio:
calcolare la differenza di energia fra i livelli per un elettrone
in una buca di lato a=5 x 10^(-11) m considerando che la
costante di Planck vale 6.6 x 10 ^(-34) J s, mentre la massa
dell'elettrone � m = 9 x 10^(-31) Kg.
L'esercizio � semplice: gli elettroni confinati avranno livelli
la cui energia � data solamente dall'energia cinetica:
p^2/2m.
questi elettroni sono descritti da funzioni d'onda con lunghezza
d'onda che deve essere sotto-multiplo intero di 2a. In modo da
verificare la condizione che la funzione d'onda sia nulla ai bordi
della buca di potenziale. (capire in dettaglio la ragione di questa
condizione come il resto, richiede di considerare una buca di profondit�
finita anzich� infinita e qualche ora o giorno di applicazione circa
le soluzioni ammissibili dell'equazione differenziale di Schroedinger,
puoi iniziare da qualunque testo di m.q. ottimo quello di Messiah per
cominciare) l'impulso si esprime come -i(h/2pi) d/dx inteso come
un operatore che agisce sulla funzione d'onda (questo discorso origina
storicamente nella ipotesi di De Broglie ed ha richiesto la riformulazione
di Schroedinger). Il quadrato � h^2 / (2pi)^2 * (pi/a)^2
A conti fatti le soluzioni stazionarie dell'equazione
di Schroedinger hanno livelli di energia E_n = n^2 h^2 / (8 m a^2)
L'ordine di grandezza per la distanza fra questi livelli parte da
7.7 x 10^(-18) J. Gli atomi non sono buche a pareti infinite e la dipendenza
da n � opposta a quella che abbiamo per le buche di potenziale, ma
la differenza di energia fra i livelli pi� bassi � dello stesso ordine di
grandezza ha un limite superiore circa doppio del valore che abbiamo
trovato.
In un metallo, quale ad esempio
la superficie riflettente di uno specchio, che � composto di
atomi legati a formare un metallo, una parte degli elettroni
degli atomi che formano il metallo risulta libera di muoversi
in tutto il cristallo. La condizione di quantizzazione per i livelli
elettronici � ora caratterizzata da lunghezze enormemente pi�
grandi del raggio di Bohr. Se rivediamo la stima per la differenza
di energia fra due livelli relativi ad elettroni in un metallo con
base di 5 x 10^(-1) metri (50 cm) l'energia caratteristica di separazione
diminuisce di venti ordini di grandezza. I livelli per un metallo sono
allora
arrangiati in fittissime bande, e risolvendo in dettaglio le condizioni di
quantizzazione per una serie di buche di potenziale molto ravvicinate si
scoprirebbe che si alternano intervalli di energia pieni di bande ad
intervalli
di energia vuoti.
In pratica questo significa
che i fotoni che raggiungono la superficie del metallo possono
con grande facilit� cedere la loro energia a questi elettroni, i quali
si adatteranno docilissimamente al campo elettromagnetico, ma il
motivo per il quale si ha riflessione perfetta � che questi elettroni danno
luogo a correnti proporzionali al campo elettrico applicato. E questo
si verifica perch� il tempo caratteristico di interazione degli elettroni
fra loro e con il reticolo cristallino � tipicamente molto pi� piccolo
della frequenza della luce visibile. In altre parole una minima parte
della luce incidente cede energia agli elettroni e questi la cedono al
reticolo, in questo gioco di accelerazione e frenamento la luce viene
ri-diffusa. La luce diffusa risulta di due parti: una parte
piccolisima di luce diffusa incoerentemente ( a causa delle collisioni
che "stabilizzazano" la velocit� degli elettroni) una parte di luce
diffusa coerentemente dovuta al moto collettivo di questi elettroni
soggetti alle equazioni di Maxwell in prima approssimazione, ed
alle equazioni di Dirac-Maxwell in approssimazione quantistica.
Quello che succede � che quanto maggiore � la conducibilit� elettrica
tanto maggiore � la capacit� del gas elettronico di rispondere
coerentemente,
e la conducibilit� � inversamente proporzionale al tempo caratteristico fra
le collisioni, quanto minore � questo tempo, tanto minore � la conducibilit�
e tanto maggiore la diffusione incoerente.
Da un punto di vista quantomeccanico la descrizione di questa
semplice fenomenologia richiede uno sforzo di astrazione che
coinvolge pesantemente il principio di sovrapposizione lineare.
Quello che succede a livello computazionale pu� essere pensato
come se ogni singolo fotone del fascio interagisse simultaneamente
con tutti gli elettroni, ciascuno dei quali risponde immediatamente
irragiando con la stessa fase del fotone incidente in tutte le direzioni,
fino a che non intervengono le collisioni a produrre una frazione incoerente
di luce
diffusa ed a sancire che parte di energia e stata assorbita dall'elettrone
e viene ceduta al reticolo, questi processi di interazione casuale sono
una delle fonti principali di decoerenza ed � per questo che questo
aspetto del processo di riflessione pu� essere spiegato in termini
pi� vicini all'intuizione classica del fenomeno, perch� la decoerenza,
come spiegavo in un altro mail � responsabile di localizzazione.
E' per questo che scrivo che le collisioni "sanciscono" ...
Quindi: se da una parte il tempo caratteristico breve fra le collisioni
garantisce l'applicabilit� della teoria di Maxwell, e dei modelli classici
di spiegazione della conducibilit� elettronica, dall'altro il fatto
che non sia troppo breve garantisce che la luce sia effettivamente
riflessa anzich� essere lasciata penetrare in profondit� nel solido
e rende necessaria la meccanica quantistica per avere le prime
stime ragionevoli coerenti e quantitative di tutte le grandezze
coinvolte. In particolare richiede la meccanica quantistica per
capire in che modo la risposta al tuo quesito si lega all'intervallo
temporale fra due collisioni.
Quello che conta � che la diffusione da parte degli
elettroni avviene coerentemente con la fase dei fotoni incidenti
e poich� questi elettroni sono, agli effetti pratici, liberi, � la
__diffusione
e non l'assorbimento___, il meccanismo principale che regola la
riflessione nei metalli, va detto anche per� che la densit� di
elettroni "liberi" che si raggiunge nei metalli difficilmente si raggiunge
in qualsiasi altro plasma, di conseguenza � fuorviante fare analogie con
altri plasmi senza le opportune correzioni di scala. Elettroni troppo
rarefatti
implicherebbero una prevalenza dei fenomeni di localizzazione e
comporterebbero l'incoerenza del fenomeno di risposta, per cui avremmo
una prevalenza di diffusione. Il fatto che � la diffusione il principale
responsabile della riflessione � causa del fatto che fotoni esattamente
collimati risultano alla fine lievissimamente sparpagliati su un intervallo
spaziale proporzionale al numero di riflessione per la profondit� di
penetrazione del campo.
Quest'ultima � inversamente proporzionale alla radice quadra della
frequenza x la conducibilit�. Numericamente il tempo caratteristico di
sfasamento dovuto ai fenomeni di incoerenza legati allo scattering
� sulla scala fra atto-secondi e femto-secondi. Mentre la profondit�
di penetrazione � di frazioni di micron, ad esempio per l'argento.
Per confronto i tempi caratteristici dovuti all'assorbimento ed alla
riemissione da parte di un singolo atomo sono molto pi� grandi
e la "lunghezza" dei fotoni spontanei si aggira su grandezze
macroscopiche: fino ai metri per l'atomo di idrogeno. Come si
spiega questa differente scala di tempo? La spiegazione esatta
� difficile, ma un'intuizione � relativamente semplice: gli elettroni
confinati in un atomo sono relativamente vincolati su livelli stazionari
distanti e poco interagenti, gli elettroni liberi in un cristallo metallico,
sono
quelli relativamente pi� veloci, con energie pi� alte, capaci di occupare
una
banda di livelli vuoti molto ampia e quindi la frequenza dei cambiamenti
di stato � molto pi� alta. La difficolt� di questa spiegazione sta nelle
parole "energie pi� alte". Perch� gli elettroni in un metallo hanno energie
alte, e possono essere considerati molto veloci e pi� capaci di interagire
che non elettroni confinati? I motivi sono due: hanno possibilit� di
muoversi,
e questo lo abbiamo gi� detto, � perch� ci sono livelli accessibili vuoti,
il secondo motivo � che i livelli vuoti sono livelli che a causa del
principio
di esclusione di Pauli hanno energie elevate.
Altra scala di lunghezza e tempi da tenere presenti sono quelle relative
al "tempo di risposta" di un elettrone libero nel vuoto. In questo
caso il meccanismo che d� luogo a sfasamento � sempre la
sovrapposizione lineare fra risposte differenti, nella fattispecie
un elettrone accelerato da un fotone d� luogo a scattering
Compton. La lunghezza caratteristica � dell'ordine delle
centinaia di femtometri (il femtometro � anche noto come
lunghezza di Fermi) ed i tempi caratteristici dipendono dalla
frequenza dei fotoni incidenti. Le lunghezze relative di interazione
molto pi� lunghe rispetto alle lunghezze Compton, che sono
una scala piccolissima.
Tutto questo � tuttavia ancora lontano, di un fattore cento appunto,
dalla scala di localizzazione dell'elettrone libero di cui ha
parlato indirettamente marcofuics accennando al meccanismo
di creazione di coppie elettrone positrone e che si aggira sui
2.8 Fermi. A tutte queste scale la meccanica quantistica con
le sue misteriose alternanze di sovrapposizioni lineari e
decisionismo � altamente predittiva.
> E, se tanto mi da tanto, dovrebbe essere privo di significato
> l'esperimento che immaginavo nella risposta a marcofuics,
> che qui riscrivo:
>
> " Un raggio di luce composto da un numero minimo di fotoni
> monocromatici, numero tale per cui almeno qualcuno arrivi
> fino in fondo, percorre 10 metri (nel vuoto) la prima volta rettilinei
> e la seconda volta seguendo una spezzata cio� rimbalzando per 9
> volte su degli specchi che si fronteggiano.
> C'� differenza nei due tempi di coprire rispettivamente i due
> percorsi (di uguale lunghezza)?
> Quella differenza, se c'�, divisa per 9, pu� essere
> intesa come tempo medio di "assorbimento+emissione" del
> fotone? "
> dove tempo di assorbimento od emissione si intende riferito
> all'attimo in cui detto assorbimento o emissione � iniziato.
>
> Allora, da dove posso iniziare?
>
> Grazie.
>
> --
>
> Giorgio Chiantore
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Received on Fri Sep 14 2007 - 19:22:30 CEST