Il 01 Set 2007, 10:53, Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com> ha scritto:
> Ciao, ci ho ripensato. La tua affermazione pescata da in ternet (che
> ho corretto precisando che A e B sono nell'algebra di Lie del gruppo e
> non nel gruppo)
L'affermazione testuale � che � sempre vera l'identit� di Hausdorf,
ma non � spiegato che senso dare alla somma che compare
nello sviluppo della matrice X come somma di commutatori
indentati.
Ho pensato che potrebbe
darsi valore di verit� all'identit� di Hausdorf con l'opportuna topologia,
in particolare topologia debole e limiti distribuzionali, non sarebbe una
situazione atipica, oltretutto quando si fa la teoria dello scattering e
si studia il limite semiclassico si trova sovente la necessit� di
considerare
estensioni analitiche da cui sortiscono gli indici di Maslov, che sono
null'altro che elementi del gruppo di omotopia di SL(2,R).
Inoltre nel provare che esiste un elemento X tale che e^A e^B = e^X
per ogni e^A e^B invertibile (che � sempre la situazione del caso
di gruppi di Lie) si ricorre proprio ad un procedimento di approssimazione.
Di pi� nin zo.
> On 31 Ago, 16:07, lje..._at_yahoo.it (Tetis) wrote:
>
> > 1) Se un gruppo � semplicemente connesso e
> > se A e B sono due elementi dell'algebra di Lie allora esiste X = ln( e^A
e^B )
> > tale che e^X = e^A e^B.
>
>
> e' FALSA e proprio il controesempio che hai riportato (la matrice Z
> per SL(2,C) semplicemente connesso)
> ne � la prova.
Per la ragione che dicevo, ovvero perch� il logaritmo non � detto che
sia definito. Di certo non � definito nel senso dell'assoluta convergenza
della serie di Taylor.
Espressamente � semplice trovare una X tale che e^X = Z
i pi -1
0 i pi
ovviamente non � in sl(2,C), il fatto che compaia (i pi) � invece
legato, IMHO, alla monodromia della funzione logaritmo, in meccanica
quantistica si presenta spesso questa situazione.
> In effetti siamo stati sviati dal fatto che SL(2,C) � un gruppo di Lie
> matriciale e pertanto la mappa exp � definita non solo sull'algebra di
> Lie di SL(2,C), ma pi� in generale sull'algebra (non di Lie) delle
> matrici complesse 2 x 2.
Esatto.
Pertanto si poteva pensare che l'elemento Z
> si potesse scrivere come Z= exp X con X matrice 2x 2 complessa NON
> nell'algebra di Lie di SL(2,C), salvando capra e cavoli.
Ok, ma c'� dell'altro, e non mi � del tutto chiaro. La situazione
� questa: SL(2,C) � localmente isomorfo ad SU(2)xSU(2),
entrambi questi gruppi hanno lo stesso gruppo fondamentale.
(Sono globalmente isomorfi o sono gruppi affatto distinti?)
SL(2,C) ammette SL(2,R) come sottogruppo. Quest'ultimo
non � semplicemente connesso, ma per Y in SL(2,R), se
esiste un elemento X tale che e^X = Y questo non dipende
altro che dal fatto che Y � un elemento di un gruppo e quindi
� invertibile. Possiamo considerare la classe di equivalenza
di tutti gli elementi W tali che e^W = Y e studiare l'intersezione
di questa classe con sl(2,R) ed sl(2,C) al variare di Y nello
spazio di tutte le matrici. Le classi di equivalenza per due elementi
risulteranno correlate da un qualche gruppo di monodromia.
Esisteranno dei punti di diramazione nello spazio dei parametri,
globali che per alcuni gruppi vengono ad appartenere al gruppo
stesso, questo � certamente il caso di SL(2,R) ed SL(2,C).
Questi gruppi hanno infatti la particolarit� di contenere
classi di matrici diagonalizzabili e non diagonalizzabili.
Gli elementi non diagonalizzabili sono associati con
le traslazioni. La non esponenzialit� si verifica quando
una traslazione � composta con una inversione spinoriale
e non ha controparte nella rappresentazione vettoriale perch�
il cambiamento di segno dello spinore non cambia il vettore.
D'altra parte la presenza di fasi di scattering � un fenomeno
prettamente quantistico che non ha controparte classica.
> Tuttavia l'affermazione (1) � data per un generico gruppo di Lie G
> (almeno per come l'hai scritta tu). Pertanto exp si deve intendere
> come definita sulla sola algebra di lie g di G. Se il gruppo G non �
> matriciale exp � definita solo su g e, in generale, non si estende
> oltre (si estende se G � sottogruppo di Lie di un altro G'...ma non
> siamo in queste ipotesi nel caso generale). Per cui l'affermazione (1)
> si deve intendere precisamente come:
>
> 1) Se un gruppo di Lie G � semplicemente connesso e A e B sono due
> elementi dell'algebra di Lie di G allora esiste X NELL'ALGEBRA DI
> LIE
> di G tale che e^X = e^A e^B."
Ok, ma si potrebbe intendere anche come: esiste X nella chiusura,
rispetto alla topologia ... , dell'algebra di Lie di G. Ad esempio
una topologia definita considerando le classi di coniugio degli
elementi rispetto all'azione aggiunta potrebbe essere opportuna.
Nota che l'azione aggiunta di SL(2,C) � un soggetto alquanto
intrigante.
> Consideriamo ora il tuo controesempio. L'elemento Z di SL(2,C) NON pu�
> essere del tipo exp X con X nell'algebra di Lie di SL(2,C) come
> dimostrato.
Vero per� X sta all'esponente e la parte fuori dall'algebra, nella
fattispecie,
commuta con l'algebra, quindi pu� essere pensata come risultato di un
limite distribuzionale.
D'altra parte Z si decompone sempre come e^A e^B con A e B
> nell'algebra di Lie di SL(2,C).
> Quindi la (1) � falsa per SL(2,C) ed � quindi falsa essendo una
> proposizione generale.
Certamente.
> Ciao, Valter
>
--------------------------------
Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Sun Sep 02 2007 - 22:23:32 CEST