(wrong string) � esponenziale!]

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Mon, 03 Sep 2007 23:46:32 GMT

Il 03 Set 2007, 19:52, Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it> ha scritto:
> Valter Moretti ha scritto:
> > Ciao Tetis, non ho capito molto bene la logica di quello che hai
> > scritto...
> Figurati io...
> Come penso sappiate, io a capire Tetis ci ho rinunciato da un pezzo.

Penso lo sappiano tutti tanto bene che comincia a diventare
supefluo, per quanto di simpatico effetto il ribadirlo :-) ogni volta
che lo ripeti l'unico che si dispiace sono io, che rilevo anche una
certa incongruenza rispetto ai fatti, perch� mi risulta che non
� vero che rinunci a leggere quello che scrivo, di certo a volte leggi
quello
che scrivo se altri entrano in conversazione, ma a volte rispondi anche
direttamente. Perch� allora ribadisci questa mezza falsit� ?
Disperata missione didattica o avviso per chi si fosse collegato
solo in questo momento ? :-)))

Ad ogni modo buon per te :-) io non posso permettermelo, di
rinunciare a leggere quello che non capisco o che mi sembra
incongruente con quello che so. Ma quel che dici
in particolare su SL(2,C) ed SU(2) x SU(2) � quello che avevo
notato qualche minuto prima, e che avevo scritto, come unica via d'uscita da
una
situazione contraddittoria in cui si cadrebbe applicando alla leggera
questa cosa che SL(2,C) ed SU(2) x SU(2) sono isomorfi che � a
quanto sembra un errore comune o il frutto di una definizione di
isomorfismo differente.

> 1) Spesso non lo leggo neppure, causa l'eccessiva lunghezza dei suoi
> post.
> 2) Quando riesco a leggere qualcosa, spesso non capisco niente per i
> continui riferimenti ermetici a cose di cui non so niente. Pero'...
> 3) Nei rari casi in cui c'e' qualcosa che mi pare di capire, mi capita
> di trovare cose che non tornano con quello che so, il che mi fa
> dubitare di tutto cio' che invece non capisco neppure :-)
>
> > ...
> > Quindi si ha la seguente situazione che non mi aspettavo proprio
> > 1) SL(2,C) (rivestimento universale di SO(3,1)+^) NON � esponenziale
> > ma
> > 2) il gruppo di Lorentz ortocrono proprio SO(3,1)+^ E' esponenziale.
> Posso fidarmi? Perche' non e' che abbia capito molto il ragionamento.
> Sara' la vecchiaia?
>
> Tanto che ci sono, una domanda.
> SO(4) e' seplicemente connesso? (sospetto di no). Oppure?

In generale SO(n) ha come rivestimento universale Spin(n)
c'� sempre una sequenza esatta che mostra che Spin(n)
copre due volte SO(n). Spin(n)/Z_2 pu� essere identificato
con SO(n) di conseguenza il gruppo fondamentale di
SO(n) � Z_2. Sempre.

> E in generale SO(n)?
>
> Tetis ha scritto:
> > ...
> > Ok, ma c'� dell'altro, e non mi � del tutto chiaro. La situazione
> > � questa: SL(2,C) � localmente isomorfo ad SU(2)xSU(2),
> > entrambi questi gruppi hanno lo stesso gruppo fondamentale.
> > (Sono globalmente isomorfi o sono gruppi affatto distinti?)
>
> Valter Moretti ha scritto:
> > ...
> > Riguardo all'isomorfismo locale tra SL(2,C) e SU(2) x SU(2),
> > sicuramente non � globale:
> > ...
> Ho capito, debbo essere rincitrullito :-(
> Perche' vi ci mettete in due a dire una cosa secondo me sbagliata...
> A mio parere SL(2,C) e SU(2)xSU(2) *non sono* neppure localmente
> isomorfi: le loro algebre di Lie sono diverse!

La differenza � essenzialmente che SL(2,C) si scompone in
due pezzi: su(2) ed i*su(2) le regole di commutazione di i*su(2)
differiscono da quelle di su(2) come dicevo a proposito di sl(2,R):

[a_i, a_ j ] = e_ijk a_k.

perch� c'� l'unit� immaginaria.

> E' solo attraverso l'espediente della complessificazione che si
> stabilisce un isomorfismo, che in questo caso non so come si chiami...

Forse � quello che ho appena scritto, altrimenti
se ti riesce di illustrarmi questo punto potresti dissipare una
affermazione che mi angustia dal tempo di Fisica Teorica.
E' legata al libro di Di Giacomo che ad un certo punto tira fuori
dal cappello SU(2) x SU(2) al posto del gruppo di Lorentz.

Diversamente io avrei scritto, se solo avessi conosciuto l'algebra
di sl(2,R) a quel tempo che sl(2,C) = su(2) + sl(2,R). Esiste
quindi un unico omomorfismo F da SL(2,C) in SU(2) x SL(2,R)
tale che F(e^x) = e^(f(x)). Che nesso esiste per� fra SL(2,R) ed
SU(2)? In pratica l'analogia � questa: come a meno di una rotazione
tutti gli elementi di SL(2,R) sono simili al gruppo esponenziale,
allo stesso modo

> E' invece vero che sono localmente isomorfi SO(4) e SU(2)xSU(2); il
> che fornisce la risposta alla mia domanda di cui sopra: SO(4) *non e'*
> semplicemente connesso, e il suo gruppo fondamentale e' SU(2)xSU(2).

No il gruppo fondamentale di SO(4) � Z_2. D'altra parte cosa significa
un gruppo fondamentale continuo?

> E' tutto sbagliato quello che ho scritto?

Non tutto, ma questa cosa che il gruppo fondamentale di SO(4) sarebbe
SU(2) x SU(2) deve essere una svista, hai scritto questo pensando a
qualcos'altro.

> Attendo con ansia ;-)

A cosa stavi pensando?
Attendiamo con ansia.

> P.S. Sono stato via una settimana, e vi ritrovo ancora sullo stesso
> problema. Mi fa piacere :)


Semo de coccio.

> --
> Elio Fabri
>

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