Re: equivalenza O(3) con SU(2) [O(1,3)+^ è esponenziale!]

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Sat, 01 Sep 2007 00:07:37 -0700

Ciao Tetis, non ho capito molto bene la logica di quello che hai
scritto...

On 31 Ago, 16:07, lje..._at_yahoo.it (Tetis) wrote:

> ... SL(2,C) non � esponenziale. Ricerca del controesempio
> dal Brian C. Hall: sia Y in SL(2,C)
>

vediamo


> sia X tale che e^X = Y allora X ha traccia
> nulla. X ha due autovalori di segno contrario.
> Ma poich�
> Y non � diagonalizzabile nemmeno X pu� essere diagonalizzabile,


Non capisco bene... Perch� Y non dovrebbe essere diagonalizzabile?
SL(2,C) include SU(2) i cui elementi sono diagonalizzabili (per il
teorema spettrale applicato ad operatori unitari). Forse tu stai
prendendo un elemento di SL(2,C) che non � diagonalizzabile ma assumi
(per assuro) che sia esponenziale e che dopo chiami Z...E' cos�?

> residua solo il caso che X abbia gli stessi autovalori, ovvero
> entrambi gli autovalori sono zero. X � simile allora
> matrice nilpotente multipla del blocco di Jordan N:
>
> 0 1
> 0 0
>
> quindi Y � simile ad ( Id + X ) che per� ha 1 come autovalore
> doppiamente degenere. Tuttavia Z
>
> -1 1
> 0 -1
>
> appartiene ad SL(2,C) (nonch� ad SL(2,R)).

Se capisco bene la logica � questa: se Y � in SL(2,C) e NON �
diagonalizzabile, ma si scrive in modo esponenziale, allora Y � simile
a ( Id + X ) ed ha quindi 1 come autovalore.
La Z che dici sopra � in SL(2,C), non � diagonalizzabile ed ha come
unico autovalore -1.
Pertanto Z non � esponenziale.
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Quindi si ha la seguente situazione che non mi aspettavo proprio

1) SL(2,C) (rivestimento universale di SO(3,1)+^) NON � esponenziale
ma
2) il gruppo di Lorentz ortocrono proprio SO(3,1)+^ E' esponenziale.

Molto interessante. Avrei detto il contrario. Quindi la semplice
connessione non c'entra proprio un tubo (come fai notare anche tu) con
l'esponenzialit�, dato che il primo dei due gruppi � semp. connesso,
ma non lo � il secondo.

Ciao, Valter

PS. la dim di esponenzialit� del Lorentz, come ho detto, si trova su
un libro di GS Hall, il tuo controesempio si trova su un libro di B.
C. Hall. Che buffa coincidenza di cognomi.
Received on Sat Sep 01 2007 - 09:07:37 CEST