Re: equivalenza O(3) con SU(2)

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Thu, 30 Aug 2007 02:37:12 -0700

Ciao Tetis!
Mi interessa quello che hai scritto, ma non ho capito bene. Il fatto
che SL(2,R) non sia esponenziale si verifica a mano come segue (mi
sono ricordato come avevo fatto a dimostrarlo...). Prendi come
generatori dell'algebra di Lie le matrici di Pauli con sigma_2
moltiplicata per -i. Quindi

          0 1
T1 : 1 0

           0 1
T2 : -1 0

          1 0
T3 : 0 -1

Sono tre matrici a traccia nulla linearmente indipendenti e pertanto
sono una base per sl(2,R).

Se esponenzi una combinazione lineare a1T1 + a2T2 +a3T3 ottieni, con
qualche calcolo abbastanza banale e se non ho sbagliato i calcoli, la
matrice E (a1,a2,a3)

                            C + a3 S (a2+a2)
E (a1,a2,a3) S(a1-a2) C-a3

dove

C= cosh[ (a2^2 - (a1+a3)^2)^1/2 ]

S= {sinh[ (a2^2 - (a1+a3)^2)^1/2 }/(a2^2 - (a1+a3)^2)^1/2

Notare che le due funzioni sono ben definite ed a valori *reali* per
a1,a2,a3 variabili in R (la polidromia della radice � cancellata dalle
buone propriet� di sinh e cosh ecc...).

Le matrici

  -b 0
   0 -1/b

per b>0 sono sicuramente in SL(2,R), tuttavia non possono essere
espresse come delle E (a1,a2,a3). Imponendo tale identit� si trova
infatti che deve in particolare essere (usando i termini sulla
diagonale principale)

2 cosh[ (a2^2 - (a1+a3)^2)^1/2 ] = -b -1/b

Se a2^2 - (a1+a3)^2 >=0 il coseno iperbolico � strettamente positivo
per cui l'identit� di sopra � falsa se b>0. Nel caso a2^2 - (a1+a3)^2
< 0, il coseno iperbolico diventa un coseno ed � pertanto limitati in
[-1,+1], ma -b -1/b < -1 strettamente se b>0.

Tu invece ti riferivi al dominio di convergenza del secondo membro
della formula di H-C. Capisco che se hai un teorema di fattorizzazione
degli elementi di un gruppo come prodotti di due esponenziali (e
questo accade per SL(2,C) e per la componente del gruppo di Lorentz
che contiene l'identit�) e se il dominio della funzione che appare a
secondo membro nell'equazione di H-C allora � fatta. Ma non ho capito
come controlli il dominio di tale funzione. Mi pare che interpreti i
gruppi ad un parametro come geodetiche rispetto ad una metrica
invariante e ti occupi della connessione per geodetiche del gruppo di
Lie visto come variet� semiriemanniana. Per� non capisco come ottieni
la connessione per geodetiche di SL(2,C) e del gruppo di Lorentz...
Puoi essere pi� preciso?
Ciao, Valter
Received on Thu Aug 30 2007 - 11:37:12 CEST