Re: Equazione di Dirac e gruppo SL(2,C)

From: Filiberto <brfil_at_libero.it>
Date: Tue, 21 Aug 2007 10:21:12 GMT

Il 20 Ago 2007, 21:43, Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it> ha scritto:

> Ti diro': stando a quello che hai gia' scritto inaltri posto, e a
> quello che dici in questo, a me 'sto Ryders mi garba poco...
Magari ci saranno delle imprecisioni ma a me sembra che sia piuttosto
chiaro, a parte raffinatezze sulla teoria dei gruppi in cui mi sembra che
anche tu mostri lacune, visti i post tra te e valter; essendo un fisico
penso sia normale. Valter invece � un matematico o sbaglio? Comunque tu che
testo utilizzavi quando spiegavi l'equazione di Dirac??
Per vedere se ti garba o meno basta che fai un salto in qualsiasi biblioteca
scientifica.

> > L'equazione non � ricavata come fu proposto originariamente da Dirac
> > ma sulla base di una relazione tra spinori bidimensionali in uno
> > spazio complesso. Uno spinore � left handed, l'altro right handed.
> > Infatti il libro dimostra che per particelle prive di massa il primo
> > ha elicit� negativa mentre il secondo elicit� positiva.
> Boh... Chissa' che vorra' dire...
Mi riferisco alle due equazioni di Weyl, ricavate dall'equazione di Dirac
imponendo l'annullarsi della massa.

sigma.p phi (left) = - phi (left)
sigma.p phi (right) = phi (right)

L'operatore sigma.p, dove con p non intendo il vettore quantit� di moto ma
il versore, misura la componente dello spin nella direzione dell'impulso. E'
chiamato ELICITA'.


> Comunque, per tua istruzione: la relazione tra L (Lorentz ortocrono
> proprio e SL(2,C) e' *esattamente* la stessa che c'e' tra SO(3) e
> SU(2).
Questo il Ryders non lo dice, cio� parla genericamente di corrispondenza
senza mai parlare di omomorfismo. Quindi mi pare di capire che anche se il
gruppo � non compatto � possibile comunque stabilire un omomorfismo. Grazie.


> > Si sono quindi definiti i tre generatori del boost di Lorentz, notando
> > che non formano un'algebra chiusa, come i generatori delle rotazioni.
> Fin qua ci arrivo.
>
> > Poi si sono definiti due generatori che formano effettivamente
> > un'algebra chiusa e dall'annullarsi del primo o del secondo si sono
> > definiti due tipi di spinori.
> Questo invece lo capisco poco, ma credo sia colpa tua, che ti spieghi
> un po' ... :-)
Hai ragione. Provo a spiegarmi meglio.

Definiamo

A = 1/2 (J + iK)

B = 1/2 (J - iK)

dove J sono i generatori delle rotazioni e K quelli dei boost.

Se B = 0 J = iK si ha la rappresentazione ( j, 0).

ma J = sigma / 2

quindi K = -i sigma /2

Chiamiamo csi lo spinore

Se A = 0 J = -iK si ha la rappresentazione (0, j)

ma J = sigma / 2

quindi K = i sigma /2

Chiamiamo eta lo spinore.

Possiamo ora notare che csi ed eta si trasformano in maniera diversa sotto a
un generico boost. Si possono quindi definire due matrici di trasformazione
M ed N che sono legate tra loro. Le due rappresentazioni (j, 0) e (0, j) del
gruppo di Lorentz ortocrono non sono equivalenti. Le due matrici M ed N
invece formano un gruppo SL (2, C) in quanto sono matrici complesse con
determinante unitario.
E' pi� chiaro ora?

> > 1) Fino a qui � tutto giusto?? Vi ritrovate?? Ora una domanda. Quali
> > sono le implicazioni del fatto che il gruppo SL(2, C) non sia
> > compatto?? Il libro dice che questo significa che il parametro del
> > boost varia lungo una linea chiusa, cio� da 0 a 1, mentre nel caso
> > delle rotazioni variava lungo una circonferenza. Potreste specificare
> > meglio questa cosa dal punto di vista matematico??
> ??? Linea chiusa? Ma che dici?
> Non posso credere che ci sia scritto questo.

Scusa mi sono sbagliato a scrivere. Linea aperta volevo scrivere. "Open
line"
Te lo riporto pari pari.
"The Lorentz group, unlike the rotation group, is non compact. This
corrisponds roughly to the observation that velocities, which are the
parameters of Lorentz boosts, take on values along an OPEN LINE, from v/c =
0 to v/c = 1, whereas angles of rotation extend from theta = 0 to theta = 2
pi greco, and this points are identified, so the line becomes closed into a
circle. The group space of the rotation group is finite, but that of the
Lorentz group is infinite, so the Lorentz group is NON COMPACT.".
Tutti i gruppi infiniti sono non compatti?? Ma cosa significa infiniti, a
dimensioni infinite??


> Al contrario: un sottogruppo unidimensionale di boost e' omeomorfo
> alla retta reale.
> In soldoni, puoi accelerare quanto ti pare. Non importa che non si
> possa superare c: se lavori intermini di "rapidita'" (che e' il giusto
> parametro) questa diventa grande a piacere.
Mi sa che lui preferisce usare come parametro v/c, con il limite della
velocit� della luce, che fisicamante ha senso.


> > Per� il gruppo � infinito dimensionale.
> Chi? cosa? L o SL(2,C) come varieta' hanno dimensione 6. Di che
> infinito mi vai cianciando?
> O vuoi semplicemtne dire che non sono compatti?
E' quello che ti ho scritto sopra e che non ho capito bene la connessione.
The group space of the rotation group is finite, but that of the Lorentz
group is infinite, so the Lorentz group is NON COMPACT. Ryders dice il
gruppo � infinito, quindi non compatto. Forse intende a dimensioni infinite
o fatto di infiniti elementi, ma a quel punto anche quello delle rotazioni �
fatto di infiniti elementi. Boh.


> > Come sono legate queste due cose?? Perch� il vero gruppo delle
> > particelle deve tener conto anche delle traslazioni?? In quel modo
> > avremo una rappresentazione unitaria??
> Piano, che qui aumentiamo il casino...
> I gruppi in questione non sono compatti, e sono semplici.
> Ne segue (credo: Valter che dice?) che no possono avere rappr. finite
> unitarie.
> Ne possono avere invece di dim. infinita.
Esatto! Infatti Ryders dice: "C'� un teorema che diche che rappresentazioni
unitarie di gruppi non compatti sono infinito-dimensionali. Quello che noi
abbiamo trovato invece � una illustrazione negativa di ci�: infatti abbiamo
una rappresentazione a dimensioni finite ma non unitaria del gruppo di
Lorentz. Infatti fu dimostrato da Wigner parecchi anni fa che il gruppo
fondamentale della fisica delle particelle non � il gruppo di Lorentz
omogeneo ma quello non omogeneo, comunemente chiamato gruppo di Poincar�.


> > Comunque dalle regole di trasformazione per i puri boost di Lorentz
> > abbiamo ricavato attraverso alcune imposizioni che facevano uso della
> > trigonometria iperbolica come si trasformano questi spinori e come
> > sono legati tra di loro. Questo ci ha portati all'equazione di Dirac.
> Ariboh...
Hahaha
Hai presente le regole di trasformazione generali sotto boost e rotazione?
Cio� le matrici M ed N?? Ti devi concentrare solo sui boost, quindi poniamo
uguale a 0 l'angolo di rotazione. A questo punto abbiamo che la regola di
trasformazione � molto simile a quella delle rotazioni con cos iperbolico e
sen iperbolico al posto di quelli normali e senza la i.

phi (right) -----> cosh (phi/2) + sigma.n sinh (phi/2)

Ora puoi sostituire gamma a cosh(phi) e betagamma a senh(phi), puoi anche
sostituire il versore p al versore n in quanto all'inizio lo spinore era
fermo mentre alla fine aveva un impulso p.
Sostituendo poi al posto di gamma E/m con un p� di passaggi algebrici
ottieni l'equazione di Dirac. Provare per credere.

> Io direi che se vuoi arrivare all'eq. di Dirac devi cercare rappr.
> irrid. unitarie di Poincare' ampliato includendo l'inversione spaziale.
Non ho la pi� pallida idea di come si trovino queste rappresentazioni di
Poincar� ampliato addirittura??
Qui il libro fa fatica ad arrivare a un Poincar� normale.... Forse quella
che dici tu � la versione originale di Dirac??

> Insomma: l'avevo detto che se non si bada un po' al rigore matematico
> si possono fare dei grandissimi casini, anche dal punto di vista
> fisico...
Su questo non c'� dubbio. Comunque Ryders insegna alla Kent University.
 http://www.kent.ac.uk/physical-sciences/main/staff/lhr.htm

Cordiali saluti,

Filiberto

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Received on Tue Aug 21 2007 - 12:21:12 CEST

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