Re: equivalenza O(3) con SU(2)

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Wed, 15 Aug 2007 01:10:32 -0700

On 14 Ago, 20:53, Elio Fabri <elio.fa..._at_tiscali.it> wrote:
> Valter Moretti ha scritto:> ...
> > Se allarghiamo SO(3) a O(3), il gruppo ottenuto cessa di essere
> > connesso, ma l'algebra di Lie rimane *la stessa* (la parte aggiunta a
> > SO(3) per formare O(3) NON contine l'dentit�), per cui non �
> > fondamentale parlare di SO(3) invece che di O(3), anche se i risultati
> > pi� fini si ottengono scegliendo SO(3) come dir� sotto.
>
> C'e' un motivo per cui io non parlerei di algebra di Lie per un gruppo
> non connesso.
>
> Dall'algebra di Lie di un gruppo nascono i sottogruppi
> unidimensionali, e se non erro se il gruppo e' connesso ogni suo
> elemento appartiene a uno di questi sottogruppi.
> (Chiedo lumi su questo: non so se sia sempre vero.)
> Di qui la rappresentazione "esponenziale" del gruppo .
>

Ciao, mi pare che erri. Quanto dici � vero se il gruppo oltre ad
essere connesso � anche compatto
(es. SU(2), SO(3),...). Negli altri casi (es. SO(1,3)^, Sp(2),...)
sussiste una proposizione pi� debole: se il gruppo di Lie � connesso e
A � un elemento del gruppo, per ogni intorno connesso dell'identit�
esiste un numero finito di elementi (dipendenti da A), il cui prodotto
� A. Se l'intorno � sufficientemente piccolo, ogni elemento
dell'intorno � di tipo esponenziale come dici tu. Conclusione: nel
caso generale di gruppo di Lie connesso, ogni elemento � un prodotto
di un numero finito (ma non necessariamente uno solo) elementi
appartenenti a sottogruppi ad un parametro.
(Per trovare esempi dovrei cercare sui libri, ma ora non li ho sotto
mano. Non ho mai letto la dimostrazione e nemmeno ci ho pensato, ma
credo che gi� per il gruppo ortocrono proprio di Lorentz NON sia
possibile esprimere *ogni* elemento come l'esponenziale di un
corrispondente elemento dell'algebra di Lie.)
Per le componenti non connesse, ovviamente, non si pu� usare un unico
intorno connesso dell'identit�...

   Ciao, Valter
Received on Wed Aug 15 2007 - 10:10:32 CEST