Re: equivalenza O(3) con SU(2)

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Tue, 07 Aug 2007 16:34:15 GMT

Il 01 Ago 2007, 01:54, brfil_at_libero.it (Filiberto) ha scritto:
> Carissimi,

Vedo che Elio Fabri ha dato una spiegazione
mettendo in evidenza la sostanza del discorso che forse era
andata persa nel testo a cui ti sei riferito. Per� voglio provare
ad entrare nei dettagli di quello che hai scritto per vedere se
riusciamo a correggere eventuali errori o difficolt� di lettura.

> sto studiando l'equivalenza (forse � pi� corretto dire omeomorfismo?) tra
il
> gruppo delle rotazioni O(3) in uno spazio tridimensionale euclideo e il
> gruppo SU(2) delle matrici unitarie con determinante uno.
> E' difficile spiegarmi a parole ma ci provo. Per fare ci� ho considerato
la
> matrice unitaria U 2x2 che dipende solo da due parametri a e b.

In verit� tutte le matrici unitarie speciali di SU(2) si parametrizzano con
due parametri complessi a e b quindi i parametri reali sono quattro,
tuttavia c'� un vincolo da considerare |a|^2 + |b|^2 = 1.

la matrice �:

a b
-b* a*

il cui determinante � appunto |a|^2 + |b|^2.


L'ho
> applicata a uno spinore a due componenti e ho notato che ci sono due
spinori
> che si trasformano nello stesso modo sotto trasformazione unitaria con det
=
> 1. Quindi entrambi sono due elementi del gruppo SU(2).

Passin passino. Dato uno spinore unitario (a,b)
questo individua univocamente un elemento
di SU(2) ma non � lo stesso di.
L'elemento di SU(2) pu� essere costruito come:

a b
-b* a*

Osservazione: ad (a,b) ed a (-a,-b) corrispondono due elementi distinti
di SU(2) uno opposto dell'altro.

Inoltre, dato un generico spinore, la moltiplicazione a
sinistra per un elemento di SU(2) induce una corrispondente
trasformazione mediante moltiplicazione a destra per l'hermitiano coniugato
sullo spinore hermitiano coniugato.
In questo senso abbiamo definito due azioni di SU(2) sullo spazio degli
spinori. A ciascuno spinore csi � possibile inoltre associare anche una
matrice
hermitiana csi x csi+ due per due. Che non ha traccia nulla. Per� �
possibile ottenere una matrice a traccia nulla togliendo 1/2 ( |a|^2 +
|b|^2) Id.

Osservazione: a csi = (a,b) ed a -csi = (-a,-b) corrisponde la stessa
matrice csi x csi+ =

(|a|^2-|b|^2)/2 ab*
b*a - (|a|^2+|b|^2)/2.

Le due azioni definite in precedenza inducono ora una trasformazione
su queste matrici 2 x 2 che si chiama azione aggiunta sullo spazio
dei vettori. Le matrici hermitiane a traccia nulla si chiamano infatti
vettori.
La ragione di questa denominazione � che il determinante di queste
matrici � invariante e pu� essere scritto come somma dei quadrati di
tre numeri reali: questi numeri reali sono (|a|^2-|b|^2)/2 e rispettivamente
la parte reale e la parte immaginaria degli elementi fuori diagonale.
questi tre numeri formano un vettore convenzionale (x1,x2,x3) associato
con csi x csi+ :

-x3 (x1- i x2)
(x1+i x2) x3

E' immediato riconoscere che a spinori opposti corrispondono
vettori uguali. (le matrici sono uguali quindi anche le componenti
(x1,x2,x3)).

Risulta inoltre che il quadrato di queste matrici � diagonale. Infine
risulta che il semi-prodotto simmetrico di due matrici � una matrice
diagonale e sulla diagonale ha i prodotti scalari dei due vettori
convenzionali associati.

Cosa c'� alla base di questo giochetto
di prestidigitazione? C'� la circostanza che tutte le matrici hermitiane
a traccia nulla 2x2 sono combinazioni lineari di matrici di Pauli,
nella fattispecie:

x1 s1 + x2 s2 + x3 s3

poich� il prodotto simmetrico di due matrici di Pauli � doppio
dell'l'identit�
ottieni i risultati suddetti. La questione delicata � che l'azione aggiunta
di una matrice U e della sua opposta sono le medesime sullo spazio dei
vettori, mentre le azioni sullo spazio degli spinori differiscono per un
segno. In questo senso abbiamo un omomorfismo da SU(2) in SO(3)
con nucleo Z_2.

Per andare in dettaglio occorre dimostrare effettivamente che
la rappresentazione aggiunta che abbiamo definito � surgettiva, ovvero
che ogni valore di SO(3) pu� essere pensato come immagine
mediante omomorfismo di gruppi di due elementi di SU(2). Ma
ad ogni matrice di rotazione possiamo associare un asse fisso
di rotazione, in modo che la stessa matrice M risulta rappresentata
sia come rotazione intorno ad n1,n2,n3 di angolo theta che come
rotazione intorno a -(n1,n2,n3) di angolo -theta. Quindi ad ogni
matrice possiamo associare un'intera classe di equivalenza di
vettori (x1,x2,x3) con medesima direzione e norme che differiscono
per un multiplo di 2pi.

Questa � la classe di equivalenza dei vettori v tali che

exp (i v S) = M.

posto che S siano le matrici che generano le rotazioni infinitesime
in R^3 = (x1,x2,x3).

Inoltre possiamo costruire due matrici U e -U Per l'esattezza:
exp [ i ( x1 s1 + x2 s2 + x3 s3)/2 ] (dove ora s sono le matrici
di Pauli) che agisce sugli spinori
in modo che l'azione aggiunta sui vettori corrisponda alla
rotazione (x1,x2,x3). La verifica � semplice a partire dalle trasformazioni
infinitesime, si vede che il fatto che compaiano due copie di U nell'azione
aggiunta ristabilisce il fattore uno nella matrice di rotazione infinitesima
indotta su (x1,x2,x3).

  La periodicit�, al variare della norma,
per le due rappresentazioni da (n1,n2,n3)t in SO(3) e per
(x1,x2,x3) in SU(2) � doppia nel secondo caso in accordo
con quanto avevamo gi� stabilito che ci sono due distinte
matrici di SU(2) a cui corrisponde lo stesso elemento di
SO(3).
 
Interpretazione geometrica in termini di sfera di Riemann.
Ad ogni spinore unitario corrisponde una matrice di SU(2)
(in S^3), un elemento di CP^1 (S^2) mediante proiezione
canonica da C^2 nello spazio proiettivo complesso ( a
costo dell'informazione relativa alla fase, ad elementi
opposti di S^3 corrisponde il medesimo elemento di
CP^1 (S^2) ) ed infine ad ogni spinore corrisponde anche
un vettore di R^3. Gli elementi di SU(2) agiscono su C^2,
su CP^1 (S^2)
e mediante azione aggiunta su R^3. A spinori opposti
corrispondono identici elementi di S^2 ma elementi opposti
di SU(2) con la medesima azione su S^2 ed R^3, ma
azione differente su C^2. In particolare le traiettorie di cui prima
descrivono circonferenze dette di Clifford in S^3, che insistono
sul medesimo punto di S^2.


 Anche gli hermitiani
> coniugati si trasformano nello stesso modo. Ora prendendo il prodotto
dello
> spinore csi per il suo hermitiano coniugato csi croce posso dire che
questo
> (il prodotto) si trasforma come il prodotto di quello equivalente per il
suo
> hermitiano coniugato sotto SU(2). In questo modo arrivo a definire una
> matrice H a traccia nulla che pero non � hermitiana e non mi pare nemmeno
> unitaria (correggetemi se sbaglio) ma � importante perch� sotto SU(2) si
> trasforma come il prodotto tra l'hermitiano coniugato dello spinore e lo
> spinore stesso.

Mi sembra che ci siano due cose mescolate. csi x csi+ � hermitiana,
non � per� unitaria, invece csi+ x csi � un numero. Trasformando
csi con la moltiplicazione a sinistra per U e csi+ con la moltiplicazione a
destra per U+ risulta che il prodotto csi+' x csi' = csi'+ x csi' = csi+ x
csi �
conservato. Mentre csi' x csi'+ rimane hermitiano. Quindi
la matrice a traccia nulla, costruita secondo la ricetta indicata prima
rimane una matrice a traccia nulla.

Appena un poco in generale quello che c'� alla base di tutto questo
� la struttura di algebra di Clifford associata agli spazi euclidei. Motivo
per cui in verit� anche SU(N) agir� sulle matrici hermitiane N x N che
risultano dal prodotto di csi x csi+ - (csi+ x csi) Id/2 , con csi elemento
di C^N conservando la traccia nulla, il prodotto scalare definito come
prima e la norma unitaria. La dimensione dello spazio vettoriale
euclideo associato sar� 2N - 1. (che fa tre se N=2). Quindi analogamente
a prima che SU(2) -> SO(3) Ed SU(N) -> SO(2N-1)



> Adesso cosa faccio? Voglio costruire una matrice sempre a traccia nulla
che
> si trasforma sotto SU(2) esattamente come H, quindi come il prodotto csi
> croce csi. Questa matrice che chiamo h � proprio il prodotto scalare tra
il
> vettore delle tre matrici di Pauli e il vettore posizione (x, y, z). A
> differenza della H, h � hermitiana ma non mi pare essere unitaria (a meno
di
> un segno). Quindi siccome dico che sotto SU(2) si trasforma come la H (in
> realt� dovrei dimostrarlo), allora anche la matrice trasformata h' rimane
> hermitiana e a traccia nulla e ha come det 1 (Quest'ultimo passaggio mi
> sembra poco chiaro) Dall'uguaglianza dei determinanti ricavo che il modulo
> quadro del vettore posizione rimane costante. Quindi � una rotazione.
Quindi
> concludo dicendo che una trasformazione SU(2) su uno spinore in uno spazio
> complesso bidimensionale equivale a una trasformazione O(3) su un vettore
> posizione. O(3) � quindi equivalente a SU(2).
>
> Di questa dimostrazione, fatta nel capitolo 2 del quantum theory (credo)
non
> capisco un paio di cose.
> 1) Sulla base di cosa posso identificare la matrice H con h?
> 2)Le due matrici si trasformano allo stesso modo sotto SU(2), cio� sotto
> trasformazioni unitarie con determinante 1 ma come faccio a dire che in
> virt� di questo fatto la trasformazione conserva il carattere
> dell'hermeticit� se H non � hermitiana??
> 3) Nella dimostrazione a un certo punto dico che la trasformazione
unitaria
> su h induce una rotazione del vettore posizione. Per fare ci� basta che
> faccia vedere che il modulo quadro del vettore posizione si conservi?? Ma
> allora mi basta la condizione sul determinante, no?
>
> Spero che qualcuno mi riesca a capire. Altrimenti date un'occhiata al
> quantum paragrafo 2.3.
>
> Cordiali saluti,
>
> Filiberto
>
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> Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
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