Il 05 Ago 2007, 21:26, Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it> ha scritto:
> Filiberto ha scritto:
> > sto studiando l'equivalenza (forse � pi� corretto dire omeomorfismo?)
> Ne l'uno ne' l'altro: vedi dopo.
>
> > tra il gruppo delle rotazioni O(3) in uno spazio tridimensionale
> > euclideo e il gruppo SU(2) delle matrici unitarie con determinante
> > uno.
> Penso che vorrai parlare di SO(3), non di O(3); di nuovo, vedi dopo.
No. Il libro parla solo di O(3). Non di SO(3). Quale sarebbe la differenza?
Che in SO(3) il determinante deve essere uguale a 1?? E nel caso di O(3) pu�
essere anche diverso da 1??
> Partiamo da uno spazio C^2 (gli spinori), su cui facciamo agire le
> matrici di SU(2).
> L'elemento generico di SU(2) e' una matrice 2x2 unitaria e a det. 1.
> Si puo' dimostrare che una tale matrice dipende da tre parametri
> reali: per es. la puoi scrivere cosi':
Una matrice unitaria 2x2 si dimostra che pu� dipendere solo da due parametri
complessi. E' sufficiente che tu prenda una matrice generica 2x2, fatta da 4
parametri a, b, c, d e imponi la condizione di unitariet�. A quel punto vedi
che d coincide con a* e che c coincide con -b*. I parametri non li
consideriamo reali ma complessi. Certo che se prendi parametri complessi,
imponi la condizione di unitariet� e quella del determinante hai tre
parametri reali. Ora se tu prendi questa matrice, fatta da questi 4
parametri reali a, b, -b*, a* e la applichi a un generico spinore complesso
vedi come si trasformano le due componenti dello spinore complesso. Adesso
puoi notare che se fai il complesso coniugato delle due componenti e cambi
segno alla seconda componente puoi notare che lo spinore con la prima
componente * e la seconda componente * cambiata di segno si trasformano
proprio come un generico spinore. Prova a farlo e mi darai ragione!!!
a questo punto vedi che lo spinore moltiplicato per il suo hermitiano
coniugato x x + si trasformano come la matrice formata da questi quattro
valori
-x1.x2 x1^2
-x2^2 x1.x2
Questa matrice la chiamiamo -H , come si pu� vedere � a traccia nulla e ha
come determinante zero.
Ora dato che il prodotto tra lo spinore e il suo hermitiano x x + si
trasforma sotto trasformazioni di SU(2) in U x x + U+ anche questa matrice H
si trasformer� come U H U+ . Il mio dubbio � se questa matrice H �
hermitiana o meno. Di sicuro � a traccia nulla. So che si trasforma come x x
+ che � una matrice hermitiana. Le matrici che si trasformano sotto SU(2)
come matrici hermitiane sono ancora hermitiane?? Che ne dite??
Io direi di no. Per� se � come dico io come fai poi a identificare una
matrice hermitiana con un'altra che non lo �. Vedi pi� avanti.
>
> U = cos(phi/2) + i*sin(phi/2)*(n.s)
>
> dove n e' un vettore 3-dim. reale, s e' il vettore delle tre matrici
> di Pauli, (n.s) indica l'ordinareio prodotto scalare di R^3.
> Il parametro phi va da 0 a 2pi.
>
> La piu' generale matrice hermitiana a traccia nulla su C^2 si scrive
> invece:
>
> H = (x.s)
Esattamente!! Questa matrice H che stai prendendo in considerazione � la mia
h!! Finalmente iniziamo a capirci. Se provi a scriverla ha questa forma:
z x - iy
x + iy -z
Sotto trasformazioni SU(2) questa h viene mandata in U h U+ che possiamo
chiamare h'. Ora siccome i determinanti delle matrici hermitiane sono uguali
a 1
det h = det h'
Quindi
x ' ^2 + y ' ^2 + z ' ^2 = x ^2 + y ^2 + z ^2
Il libro conclude dicendo che un trasformazione unitaria sulla matrice h
induce una rotazione nel vettore posizione n, come l'hai chiamato tu. Adesso
dice che si possono identificare le due matrici H e h. E' solo identificando
queste due matrici che fa l'omeomorfismo tra SU(2) e O(3). Dice che una
trasformazione SU(2) su uno spinore complesso equivale a una trasformazione
O(3) (e non SO(3) come dici tu elio) su un vettore tridimensionale n. Lega
infine le componenti del vettore a quelle dello spinore.
Il segreto sta nell'identificazione dei quelle due matrici. Mi capisci
meglio ora???
Ciaooo
Filiberto
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Received on Wed Aug 08 2007 - 01:07:22 CEST