Re: Regole di Hund.

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Fri, 13 Jul 2007 18:17:39 GMT

Il 09 Lug 2007, 18:53, "Cavalier Body" <fmnimaNOSPAMME_at_tin.it> ha scritto:
> Atomo del carbonio nello stato fondamentale.
> 2s^2

Il Carbonio ha sei elettroni.
Mi sembra che questo sia una atomo ionizzato due volte.
Uno schema di elettroni indipendenti non interagenti potrebbe
essere: 2s^2 2p^2. In pratica la configurazione favorita
in accordo alle regole di Hund, vedr� i due elettroni esterni
occupare due distinti livelli p, ma questo pu� essere compreso
in modo molto semplice in termini di repulsione elettrostatica.

Pi� complicato � risalire ai momenti angolari e di spin osservati.
Cosa ci dicono le regolette di Hund in proposito? Lo
stato fondamentale ha la massima molteplicit� di spin
compatibile con il principio di Pauli (prima regola di Hund).
Una volta fissato lo spin, l'autovalore di L � quello pi� alto
(seconda regola di Hund). La molteplicit�
massima si ha quando gli elettroni occupano il maggior
numero possibile di autostati distinti ovvero in questo
caso S=1 con molteplicit� 3. I casi possibili per somma
del momento angolare sarebbero in effetti:

(L,S) = (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)

guardando le tavolette con i coefficienti di Clebsch
Gordan scopri che L=0 ed L=2 ed S=1 sono pari per scambio di
coordinate, mentre S=0 � dispari come L=1. Quindi se la funzione
d'onda totale deve essere antisimmetrica per scambio
di coordinate: sono possibili solo (0,0) (1,1) (2,0).
 
La massima molteplicit� si ha quando S=1. Per questa molteplicit�
abbiamo un solo stato (1,1). Ragionando sull'energetica elettrostatica
vedremo fra un attimo che il ragionamento procede all'inverso
dell'enunciazione
della regola. Cio� risulta, in questo caso, pi� semplice stabilire
il valore di L e quindi il valore di S.

> Perch� L'=2 S'=1 non � consentito? Perch� viola il principio di
esclusione?

Esatto: la parte di spin e la parte orbitale di questo stato sarebbero
entrambe pari per scambio di coordinate di una particella
con le coordinate dell'altra. Ma ora vediamo di comprendere in
soldoni un modo alternativo di prevedere la corretta energetica.

La repulsione elettrostatica
risulta ridotta, nella configurazione in cui lo scambio delle coordinate
per la parte orbitale porta ad un cambio di segno, in modo che
la funzione d'onda orbitale sia nulla quando le particelle occupano
la medesima posizione.

Allora, tenuto conto di ci� l'unica configurazione, con due spin 1
che ha la propriet� antisimmetrica richiesta � quella con L = 1.
Il principio di antisimmetria della funzione d'onda globale (principio di
Pauli)
richiede allora che la parte di spin (se fattorizzabile) sia pari per
scambio degli indici di particella. L'unica combinazione pari che
pu� essere costruita con due spin seminteri � la configurazione
di spin S=1. Quindi lo stato favorito sar� L=1 S=1.

In accordo alla predizione delle prime due regole di Hund.
Per la terza regola di Hund: questo insieme di stati che corrisponde
ad L=1 ed S=1, che abbiamo detto non risulta essere uno autostato
esatto dell'Hamiltoniana in presenza di interazione spin orbitale,
tuttavia, se si ammette che lo stato esatto non si allontani troppo da
questa
fattorizzazione, con questi due valori di L ed S sono possibili,
per somma dei momenti angolari, i valori di J pari rispettivamente
a 0,1,2.

Per sapere quale fra questi risulta favorito energeticamente
bisogna infine ricordare la teoria di Russell Saunders (la
trovi descritta, in qualche modo, nel libro di Landau,
ma non escludo si trovino spiegazioni migliori).
In particolare occorre ricordare che LS = J^2 - L^2 - S^2.
quindi i valori medi sui tre rispettivi stati di LS sono
rispettivamente, in unit� di hbar^2, i numeri 2, -2, -4.
Allora secondo che il coefficiente spin-orbitale � positivo
o negativo risulter�, nel primo caso favorita la configurazione
con J = 0, nel secondo la configurazione con J = 2. E mai invece
la configurazione con J=1. La shell in questo caso � meno che
semipiena e quindi il coefficiente di Russell Saunders � positivo,
in modo che la configurazione favorita � J=0 ovvero:

3^P_0 sar� il termine spettroscopico per il fondamentale
dell'atomo di Carbonio.

In accordo alla predizione della terza (o quarta a secondo dei
libri) regola di Hund.

La generalizzazione della prima regola di Hund discende
dalla circostanza che la massima molteplicit� di spin si ha quando
lo stato di spin totale corrispondente ha la massima simmetria per
permutazioni, in modo che la parte orbitale corrispondente ha il
massimo grado di antisimmetria. Per comprendere come mai la
corrispondente funzione d'onda abbia massimo momento
angolare fra quelli compatibili occorrerebbe considerare esplicitamente
gli esempi, ed a prima vista la seconda regola di Hund � controintuitiva
rispetto alla meccanica quantistica. Una spiegazione "semiclassica"
che si trova e che non riesco a giustificare fondatamente dice: "se gli
elettroni girano nella stessa direzione hanno meno possibilit� di occupare
la stessa regione spaziale". La terza regola di Hund richiede, come dicevo
di comprendere perch� il fattore di Russell Saunders cambia segno
quando la shell passa da semipiena e semivuota. Una spiegazione
plausibile si trova come dicevo sul libro di Landau.


Ad ogni modo la dipendenza energetica dagli autovalori
J e J_z pu� essere pi� complessa per numeri atomici
pi� alti perch� risulta distanza dall'approssimazione di
Russell Saunders dovuta all'occorrenza di correzioni
relativistiche via via pi� significative. Cio� la terza regola di Hund
� dall'applicabilit� piuttosto critica.

Tieni presente che quando Hund le scopr� non fu in grado
se non dopo molti anni di spiegarle su base quantistica,
dato che la teoria quantistica era ancora agli albori.

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Received on Fri Jul 13 2007 - 20:17:39 CEST

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