Re: Cicli limite

From: Marco <nbwba_at_tin.it>
Date: Sat, 07 Jul 2007 16:14:56 -0700

> In un esercizio mi si chiede di determinare se un sistema ha un'orbita
> periodica applicando il teorema di Poincar�-Bendixson.Ora se le
> condizioni del teorema sono soddisfatte, � giusto affermare che il
> sistema ha un orbita periodica che � un ciclo limite?

Per evitare fraintendimenti, ti dico la versione che conosco io del
teorema:

Sia (M, \Phi) un sistema dinamico in R^2 (M � un aperto di R^2), e D
\subset M un insieme compatto invariante per il flusso \Phi "in
avanti" (per t positivi),
allora per ogni x \in D, "l'insieme limite di x" o contiene un punto
di equilibrio, oppure � una traiettoria periodica.

"L'insieme limite di x" (x \in M) � l'insieme dei punti y \in M per
cui esiste una successione t_j -> \infty tale che \lim_{j -> \infty}
\Phi^{t_j} (x) = y.

Con questa premessa, puoi rispondere alla domanda del problema
cercando punti di equilibrio nel dominio D. Se non ne trovi, allora
sai che vi � una traiettoria periodica. Non credo che si possa
affermare che � anche un ciclo limite, anche se le dispense del corso
che ho seguito sembrano affermare il contrario. In effetti l'insieme D
potrebbe essere ad esempio formato da traiettorie periodiche
concentriche... Un ciclo limite invece dovrebbe essere una traiettoria
che attira (uso un linguaggio informale) i punti di un bacino di
attrazione che, per definizione, � aperto. Perci� credo, ma potrei
sbagliarmi visto che le dispense affermano il contrario, che affermare
che vi sia un ciclo limite potrebbe essere, in generale, sbagliato.

> Inoltre � giusto affermare che "un sistema pu� avere pi� orbite
> periodiche, ma un solo ciclo limite"?

Non mi sembra che ci sia nulla che impedisca ad un sistema dinamico
generale di avere sia orbite periodiche, sia cicli limite. Se invece
la tua domanda �: i sistemi dinamici hanno un solo ciclo limite?,
allora in questo caso la risposta � negativa. Puoi mettercene quanti
ne vuoi :-) Se serve posso farti un esempio.

Ciao
Marco
Received on Sun Jul 08 2007 - 01:14:56 CEST