Re: Modello di Higgs e rottura spontanea di simmetria

From: Tetis <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Mon, 14 May 2007 17:02:58 GMT

Il 14 Mag 2007, 09:36, argo <brandobellazzini_at_supereva.it> ha scritto:
>
> Elio Fabri ha scritto:
>
> > argo ha scritto:
> > > ...
> > > Il fondamentale potrebbe essere degenere e l'orbita dei minimi e'
> > > l'insieme dei fondamentali.
> > Il termine "orbita" ha un significato tecnico in teoria dei gruppi.

Non solo in teoria dei gruppi a dire il vero. Comunque dato un
gruppo G che agisce su un insieme S nel senso che per ogni g
di G esiste un'applicazione bigettiva di S in S. Si dice orbita di un
elemento
s di S l'insieme di tutti gli elementi gs con g in G. Tuttavia se
S � in pi� uno spazio vettoriale e G � un'azione rispettosa della
struttura di spazio vettoriale nel senso che l'immagine g(s+kz) mediante
g in G di s+kz con s,z in S e k nel campo � g(s)+kg(z), allora
ha significato considerare l'insieme delle chiusure convesse...
In particolare nella meccanica quantistica � spesso usata la
proiezione dallo spazio di Hilbert degli stati alla sua proiettivizzazione,
cio� dalla struttura con fase e modulo alla struttura in cui si considerano
rilevanti solamente i raggi dello spazio di Hilbert, ovvero si identificano
gli elementi che differiscono fra loro a meno di una fase. Ad uno
sguardo attento non pu� sfuggire che in quest'ultima struttura la
nozione di combinazione lineare fra raggi non � ben posta. Ma
tuttavia continua ad avere significato l'insieme delle combinazioni
lineari. Ovvero lo span fra due stati.
 
In particolare la nozione di stato che si usa nell'interpretazione
statistica della meccanica quantistica risulta
legata al formalismo della matrice densit� ed alla nozione di
funzionale. Questa interpretazione � quella che sta effettivamente
alla base della teoria assiomatica dei campi quantistici.
Ed � per questa ragione che diventa rilevante la nozione di
orbita dei minimi. In quanto i minimi possono essere rappresentati
tutti insiemi in termini di un solo elemento, uno stato, che non �
uno stato puro. Va da se che dentro questo stato, ovvero dentro
l'elemento "sotto-spazio convesso" dello spazio degli stati si possono
andare a risolvere i singoli elementi. Questa risoluzione pu� essere
di carattere fittizio, se si ammette che l'equivalenza di gauge corrisponda
ad una reale indistinguibilit� dei diversi stati di gauge, oppure di
carattere
osservabile, se per esempio avviene mediante l'introduzione di ulteriori
osservabili discrete quali la parit�.

Uno dei punti delicati della teoria assiomatica dei campi, negli
anni settanta, stava nel fatto che non era chiaro se la distinzione
fra stati di gauge differenti risultasse in una distinzione operativa
per quanto non a livello di osservabili, ma a livello asintotico.
Una risposta parziale a questa disquisizione teorica si ripropone
nella teoria delle iperfunzioni. Le iperfunzioni sono una nozione
piuttosto avanzata in analisi complessa che ha a che fare con
la distinzione fra componente di energia positiva e componente di
energia negativa della rappresentazione di una serie di Fourier.

L'identificazione fra due iperfunzioni � data a meno di una funzione
olomorfa. Risulta che le iperfunzioni, che possono essere definite
come quelle funzioni olomorfe su un dominio di convergenza aperto
e semplicemente connesso in cui sia sottratta una linea chiusa,
sono anche il duale delle funzioni analitiche. In un certo senso
le iperfunzioni caratterizzano lo stato con il massimo grado di
esattezza, ma sempre a meno di una funzione olomorfa aggiuntiva.

La vecchia domanda, se la gauge � o non � operativamente distinguibile,
si riflette allora nella possibilit� che l'equivalenza fra due iperfunzioni
a
meno di una funzione olomorfa sul dominio di convergenza
sia o meno effettiva. La questione ha evidentemente a che fare con
la teoria delle estensioni e la geometria algebrica, nei termini
pi� semplici ha a che fare con le superfici di Riemann. In termini
pi� tecnici e generali le iperfunzioni identificano un fascio i
cui elementi possono appartenere per� a diverse classi
di coomologia. La dura conquista di questa consapevolezza
ha portato alla elaborazione della meccanica quantistica
topologica.

Nella fisica dello stato solido queste distinzioni fra iperfunzioni
associate con una oppure un'altra superficie di Riemann
sono fisicamente significative non solo per i cosiddetti effetti
di bordo, che sarebbe ben poca cosa, ma per gli effetti di
stato fondamentale che possono risultate dalle diverse
classi di coomologia. Un esempio celebre � quello dei
cristalli di Peierls, cristalli che hanno una degenerazione
di energia al bordo delle bande di conduzione. La presenza
di una degenerazione al bordo della banda di conduzione
� associata con una simmetria di parit�. Il che significa
che abbiamo stati elettronici con parit� di dipolo opposto
ad energia molto prossima. Cosa comporta questo fatto?
Comporta che lo stato a parit� indifferente, sovrapposizione
coerente dei due pu� essere energeticamente sfavorito.
Di questo si ha evidenza con la formazione di cristalli
polarizzati. E' un esempio di rottura della simmetria conforme,
dovuto alla presenza di una fase geometrica quantizzata che
nel fondamentale comporta un ordine a larga scala.
 


> > Se parti da un vettore (per es. un vuoto) e ad esso applichi tutti le
> > trasf. di un dato gruppo, l'insieme che ottieni e' un'orbita del
> > gruppo.

Questo fa confusione. Perch� ripeto nella teoria assiomatica moderna
il vuoto non � necessariamente un vettore, mentre pu� essere un
insieme convesso, formato di tanti minimi (distinguibili o meno che
siano).

> > Nel caso in questione il gruppo e' quello della simmetria rotta
> > spontaneamente, e l'orbita e' appunto l'insieme dei vuoti che si
> > ottengono uno dall'altro applicando le trasf. della simmetria rotta.

Mentre questo � corretto.

> Giustissimo, grazie delle precisazioni.
> Ciao.
>

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Received on Mon May 14 2007 - 19:02:58 CEST

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