Re: teoria dei campi vs maccanica

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: 18 Apr 2007 06:29:45 -0700

On Apr 16, 9:13 pm, Elio Fabri <elio.fa..._at_tiscali.it> wrote:
> Valter Moretti ha scritto:> Per concludere, _da matematico_ faccio notare che <0|A(x)|1> in
> > realt� non esiste a meno di non interpretarlo come (il nucleo
> > integrale dell)a distribuzione di Schwartz
> > h -> <0|A[h]|1>
> > dove A[h] � l'operatore di campo regolarizzato (smeared with) la
> > funzione test h.
>
> Ti darei ragione, pero'...
> Ragionando intuitivamente, se |1> e' uno stato normalizzato (un
> pacchetto) non vedo perche' non dovrebbe aver senso calcolare una vera
> funzione d'onda.
> Spiegami un po' (da matematico :) ) come si aggiusta 'sta cosa...

(ho cancella to il precedente post perch� c'� un modo pi� semplice di
arrivare alla stessa conclusione scritto in questo).

Vediamo un p�, non ci ho mai pensato seriamente. E' il momento giusto
di farlo!
Lo spazio dei vettori |1> lo definisco prendendo le funzioni L^2
sull'iperboloide di massa dai quadri impulsi rispetto alla misura
Lorentz-invariante.
Consideramo la distribuzione
h -> <0|A[h]|1>
Questa � ben definita per ipotesi, inoltre dato che A[h]|0> � denso
nello spazio ad una particella quando h varia nelle funzioni smooth a
supporto compatto e A � simmetrico, la distribuzione
h -> <0|A[h]|1>
individua completamente |1> dati che � equivalente ad assegnare i
prodotti scalari di |1> su tutti gli elementi dello spazio ad una
particella.
L'applicazione che associa a stati |1> distribuzione <0|A[ . ]|1> �
lineare e biettiva.
 Questo significa che nello spazio delle distribuzioni <0|A[ . ]|1>
al variare di |1> nello spazio degli stati ad una particella puoi
mettere un prodotto scalare sullo spazio di tali distribuzioni in modo
da identificarlo con uno spazio di Hilbert, quello ad una particella.
Abbiamo trovato che lo spazio delle funzioni donda � uno spazio di
Hilbert di distribuzioni.

A questo punto � ben noto che alcune distribuzioni sono funzioni e
quello che c'� da capire se questo spazio di Hilbert di distribuzioni
� *contiene solamente funzioni*
Nella teoria non relativistca era fatto SOLO da funzioni, anzi da
funzioni definite a meno di insiemi di misura nulla (infatti sono
distribuzioni NON funzioni) essenzialmente (lavorando a t=0) da tutti
gli elementi di L^2(R^3) R^3 spaziale.
Nella teoria relativistica, questo a priori non � pi� garantito: le
distribuzioni <0|A[.]|1> le ottieni da una trasformazione di Fourier
in 4D , che si deve pensare come una trasformazione di Fourier di
distribuzioni
dato che gli oggetti che integri contengono una delta sull'iperboloide
di massa ....
da qui non viene fuoori niente di preciso, perch� non sappiamo se tali
traformate di Fourier producano solo distribuzioni che sono o meno
funzioni Scegliendo un riferimento e mettendosi a t=0 si pu� cercare
di interpretare la trasformazione come una trasformazione di Fourier
su R^3 facendo sparire la delta. Si ha (ora x � un trivettore spaziale
e p un trivettore d'impulso)

psi(t=0, x) = int exp{ipx} f(p)/sqrt{p^2 +m^2} dp (1)

e vale, data la definizione dello spazio ad una particella:

 int |f(p)|^2 /sqrt{p^2 +m^2} dp < +oo (2)

quindi psi(x) � la trasformata di Fourier della distibuzione

g(p) = f(p)/sqrt{p^2 +m^2} che soddisfa

 int |g(p)|^2 sqrt{p^2 +m^2} dp < +oo (2)'

Ma allora se m >0, (se non ho sbagliato i conti sopra)

int |g(p)|^2 dp < +oo

(Proof. Per ogni costante C >0: |g(p)|^2 <= |g(p)|^2 sqrt{p^2 +m^2}/C
se |p| > = r abbastanza grande. Per |p|<r vale invece
sqrt{p^2 +m^2}|g(p)|^2 <= |g(p)|^2sqrt{p^2 +m^2} (sqrt{p^2
+m^2})^{-1} < K |g(p)|^2sqrt{p^2 +m^2}
per qualche K >0)

Questo significa che psi(t=0, x) � _ancora_ una funzione di
L^2(R^3) dato che la trasformazione di Fourier di distribuzioni si
riduce a quella di Fourier Plancherel lavorando su L^2 che manda L^2
in L^2.
Cambiando tempo non succede niente di drammatico visto che appare solo
una fase davanti a g che non altera i risultati.

Conclusione: le funzioni d'onda relativistiche sono ancora funzioni di
t e x (definite al solito a meno di insiemi di misura nulla in x ) che
sono L^2(R^3) ad ogni tempo.
L'intuito � in accordo con la matematica...

Ciao, Valter
Received on Wed Apr 18 2007 - 15:29:45 CEST