Re: teoria dei campi vs maccanica

From: Eugenio Bianchi <eugenio.bianchi_at_gmail.com>
Date: 18 Apr 2007 04:02:28 -0700

Provo a dare un esempio nel dettaglio. Consideriamo la teoria di un
campo scalare libero di massa M diversa da zero. Visto che stiamo
parlando di formalismo, allora scegliamo un formalismo piu' vicino
possibile a quello che si usa generalmente in nrQM. Lavoriamo in
formulazione Hamiltoniana, introducendo una foliazione dello
spaziotempo. Prendiamo come parametro temporale quello associato
all'invarianza globale dello spazio di Minkowski per traslazioni
temporali; in particolare, una volta che abbiamo scelto un vettore
tipo tempo t^mu in un punto x^mu, la foliazione e' fissata globalmente
grazie alle simmetrie della metrica di Minkowski, ed e' una foliazione
geodetica. (nel seguito x e p sono intesi sempre come coordinate e
vettori spaziali)

E' bene scegliere subito uno schema: scegliamo ad esempio lo schema di
Schroedinger in cui gli stati evolvono nel tempo (questo e' diverso da
cio' che viene generalmente fatto sui testi di QFT. Il motivo per cui
generalmente viene adottato lo schema dell'interazione e' perche uno
e' interessato a calcolare perturbativamente le sezioni d'urto.
Tuttavia la meccanica quantistica e' molto piu' che sezioni d'urto e
tempi di decadimento: potremmo essere interessati per esempio
all'energia del primo autostato eccitato in Yang-Mills.. in questo
caso il formalismo dello schema di Schroedinger e' piu' appropriato).

Nello schema di Schroedinger, a una sezione spaziale dello spaziotempo
viene associato uno stato | alpha >. Per un campo scalare libero, un
generico stato | alpha > e' della forma

| alpha > = Sum_n Int dp1..dpn alpha_n(p1,..,pn) a+(p1)..a+(pn) |
0 >

dove | 0 > e' il vuoto di Fock e a+(p) e' l'operatore creazione nello
schema di Schroedinger. Scelgo la normalizzazione di a(p) in modo che a
+(p) | 0 > sia uno stato a norma uno, o piu' precisamente [a(p'),a+
(p'')]=(2 pi)^3 delta(p'-p'') (senza il 2 w_p). Questo corrisponde a
definire a(p) in termini di operatori di campo phi(x) e il suo momento
coniugato pi(x) nel seguente modo

a(p) = 1/(sqrt{2 w_p}) Int d x exp(- i k.x) ( w_p phi(x) + i
pi(x) )

dove w_p=sqrt(M^2 + p^2). (attenzione a non confondere phi(x) con
l'operatore di campo varphi(x^mu) che si usa generalmente in QFT e che
e' un operatore nello schema di Heisenberg o nello schema di
interazione). La normalizzazione che ho preso per a(p) corrisponde
esattamente a quella che si usa per l'oscillatore armonico: Int dp/(2
pi)^3 a+(p) a(p) e' una quantita' ADIMENSIONALE, come deve essere
l'operatore NUMERO. (nota che questa non corrisponde all'usuale
normalizzazione ''relativistica'' per fattori 2 w_p).

Lo stato | alpha > evolve nel tempo secondo l'eq di Schroedinger. Ora
considero un particolare stato, uno stato | f > a una particella

| f > = Int dp/(2 pi)^3 tilde{f}(p) a+(p) | 0 >

con la condizione che la funzione di smearing tilde{f}(p) sia diversa
da zero solo per p<<M. Questa e' la richiesta che questo stato a una
particella sia nonrelativistico: e' una condizione sulla probabilita'
che un apparato (la cui worldline ha t^mu come vettore tangente, cioe'
e' fermo nel riferimento che stiamo usando per descrive il sistema) di
trovare che la particella ha impulso p. In particolare, e' una
condizione sul valore di aspettazione dell'operatore impulso.
Un modo equivalente di imporre la condizione sugli impulsi e' la
seguente. Definiamo f(x) = Int dp/(2 pi)^3 tilde{f}(p)
exp(+ip.x) , e lo stato come

| f > = Int dx f(x) ( Int dp/(2 pi)^3 exp(-ip.x) a+(p) | 0
> ) (*)

La condizione e' che si abbia che -Laplacian f(x)<<M^2 f(x). Notate
che, perche' lo stato | f > sia normalizzabile, la funzione f(x) deve
essere L^2 e per avere uno stato normalizzato a uno si deve avere Int
dx | f(x) |^2 = 1. Questo gia' indica la risposta alla domanda da cui
siamo partiti: lo smearing f(x) nell'eq (*) e' proprio la funzione
d'onda di nrQM.

Ma c'e' di piu': finora abbiamo discusso solo la cinematica. Perche' |
f > sia uno stato non relativistico in un senso dinamico, esso deve
evolvere in uno stato che sia ancora non relativistico. Per il campo
scalare libero la dinamica e' data dall'operatore H = Int dp/(2
pi)^3 w_p a+(p) a(p) e l'eq di Schroedinger e'

i _at__t | f > = H | f >

Mettendo dentro la forma (*) per lo stato | f > si trova proprio
l'ordinaria eq. di Schroedinger per la funzione d'onda f(x)

i _at__t f(x) = (M - Laplacian/2M^2 ) f(x)

con l'Hamiltoniana non relativistica h= - Laplacian/2M^2 +costante.
Chiaramente le cose iniziano a diventare piu' interessanti quando si
parte da una teoria di campo interagente come phi^4 o con interazione
di Yukawa. O almeno da una teoria di campo in una scatola o in un
campo esterno.


ciao a tutti, eugenio
Received on Wed Apr 18 2007 - 13:02:28 CEST